UOJ NOI Round #6

暴露真实水平了，我该怎么办？？？

Day1

A

首先注意到面基顺序与答案无关，因为如果提前与某个人面基了，那可以让那个人一直与你走相同的路线，等到轮到他面基时再面基。

所以，我们就是要选一个位置，使得所有人（包括你自己）到这个位置的距离的最大值最小。这个位置可以是一个点，也可以是某条边上的某个位置。

对于在点上会合的情况，直接枚举即可。对于在边上的情况，先枚举一条边 $(u,v,w)$，那么在这条边上会存在 $(k+1)$ 个分界点，每个分界点表示某个人从点 $u$ 进入这条边更优，变为了从点 $v$ 进入这条边更优。对于两个分界点间的情况，容易计算其答案。

时间复杂度 $O(k(n+m)\log m\log k)$。

B

我们令 $\mathtt{\text{0}}\to 1,\mathtt{\text{1}}\to -1$。设此时得到的原串为 $S$，新串为 $T$。

定义合法括号前缀为一个由 $1$ 和 $-1$ 组成的数列，且其前缀和总是 $\ge 0$。

先考虑匹配怎么做，也就是说，我们需要检查是否存在一个合法括号前缀 $W$，使得 $W$ 是 $T$ 的子序列，且去掉 $T$ 中的某个 $W$ 后，剩下的部分等于 $S$。

我们贪心地匹配。假如当前匹配了 $T$ 的前 $i$ 位和 $S$ 的前 $j$ 位，且括号前缀的总和是 $k$。若 $T_{i+1}=S_{j+1}$，则下一位可以直接匹配。否则，若 $T_{i+1}=1$ 或 $k>0$，那么令 $k\leftarrow k+T_{i+1}$ 即可。

如果 $T_{i+1}=-1,S_{j+1}\ne -1,k=0$，那么我们需要让 $j$ 减少一些。我们找到最大的 $p<j$ 使得 $S_{p\dots j}$ 之和大于 $0$，并令 $j\leftarrow p-1$。这是对的，因为任意两个合法括号前缀交替拼接起来以后，仍然是合法括号前缀。

对于计数，将上面的 $i,j,k$ 记入状态，然后直接转移即可。

时间复杂度 $O(nt(n+t))$。

Day2

A

记 $F(S)=\sum _{i\in S}{a}_i$。

假如能找到两个集合 $S,T\subseteq [n]$ 使得 $S\ne T\wedge F(S)=F(T)$，那么令 $S\mathrm{\setminus }(S\cap T)$ 中的元素为 $1$，$T\mathrm{\setminus }(S\cap T)$ 中的元素为 $-1$，其余元素为 $0$，这样就构造出了一组答案。

由于 $2^n-1>p$，根据鸽巢原理，总存在一个 $s\in [0,p)\cap \mathbb{Z}$ 使得有至少两个集合 $S$ 满足 $F(S)=s$，所以一定有解。

考虑分治。设 $\mathrm{solve}(l,r)$ 表示：我们要找一个 $s\in [l,r]$ 使得存在集合 $S\ne T$ 满足 $F(S)=F(T)=s$，且保证 $[l,r]$ 间有解。令 $mid=\lfloor \frac{l+r}{2}\rfloor$，我们考虑求出有多少个 $S$ 满足 $F(S)\in [l,mid]$。设这个数是 $cnt$，假如 $cnt>mid-l+1$，说明 $[l,mid]$ 间一定有解；否则，$(mid,r]$ 间一定有解。

现在我们需要处理 $O(\log p)$ 次询问，每次问 $F(S)$ 在某个区间内的 $S$ 的个数。折半，设 $t=\lfloor \frac{n}{2}\rfloor$，开始时预处理 $a_{1\dots t}$ 和 $a_{(t+1)\dots n}$ 的所有子集和，并从小到大排序，每次询问时，设 $S=S_1\cup S_2$，有两种情况：$F(S_1)+F(S_2)\in [l,r]$，以及 $F(S_1)+F(S_2)-p\in [l,r]$。对两种情况分别双指针即可。

最后，我们需要对于分治找到的 $s$，求出两个集合。利用上面折半得到的信息不难求出。

时间复杂度 $O(2^{\lceil n/2\rceil }\log p)$。代码实现。

B

只补了 $50$ 分做法。

首先，对于两个点 $x,y$，若存在 $(x,y)$ 这条边，那么 $x,y$ 连通当且仅当 $(x,y)$ 这条边被选中。

考虑找到一种构造询问的方式，使得对于任意两条不同的边 $(u_i,v_i),(u_j,v_j)$，都存在一个询问满足 $i$ 被包含在这个询问中，而 $j$ 不被包含。如果总询问次数为 $2T(T\in {\mathbb{N}}^{+})$，那么一条边 $(x,y)$ 存在，当且仅当 $x$ 与 $y$ 在恰好 $T$ 次询问中连通。

一种询问次数为 $2\lceil {\log }_{2}n\rceil$ 的构造：考虑二进制分组，对于每个 $0\le i<\lceil {\log }_{2}n\rceil$，我们取出所有二进制下第 $i$ 位为 $0$ 的边询问；再取出所有二进制下第 $i$ 位为 $1$ 的边询问。

一种询问次数为 $\lceil {\log }_{2}n\rceil (1+o(1))$ 的构造：我们找到 $(n-1)$ 个 popcount 恰好为 $T$ 的 $2T$ 位二进制数，令 $(n-1)$ 条边分别对应这些二进制数。每次只需询问第 $i$ 位为 $1$ 的所有二进制数对应的边即可。