扫描线

正交范围

在一个 \(B\) 维平面直角坐标系下，第 \(i\) 维限制在整数 \([l_i,r_i]\) 间，形成的点集，叫做 \(B\) 维正交范围。

例题 \(1\)

给定 \(\{a_n\}\)，\(m\) 次查询 \(a\) 的一个区间内有多少个值只出现过一次。

对于一个位置 \(i\)，设它的前驱、后继位置分别是 \(p,q\)。那么对于 \(l\) 在 \((p,i]\)，\(r\) 在 \([i,r)\) 的询问，\(i\) 会对这些询问产生 \(1\) 的贡献。

于是变成了：\(n\) 次矩形加，然后是 \(m\) 次单点查询。直接扫描线就行了。

区间子区间问题

多次询问某个区间内有多少个子区间满足某个条件。

以 \(l\) 为横轴，\(r\) 为纵轴建立平面直角坐标系，那么一个区间 \([l,r]\) 对应着坐标系中一个点。

画出来长这样：

假如我们要询问 \([L,R]\) 中有多少满足条件的子区间，那么就是询问图中的蓝色区域：

假如能保证所有 \(l>r\) 的位置都不会产生贡献，那询问的实际上是一个 2-side 矩形：

例题 \(2\)

给定一个长为 \(m\) 的操作序列，有三种操作：

• 区间赋值；
• 交换两个位置的值；
• 单点求值。

有 \(q\) 次询问，每次问初始将序列赋值成 \(0\)，然后执行 \([l,r]\) 间的操作，得到的答案之和是多少。

扫右端点，每次在最后加一个操作是比较困难的。考虑倒着扫。

枚举左端点 \(l\)，维护所有右端点的答案。对于每一个位置的询问开一个 vector，vector 内的元素表示这个询问的答案还是 \(0\)。当 \(l\) 左移一位时：

• 若新的操作是区间赋值，那就相当于把区间内的所有 vector 里的询问都定成这个值，然后清空这些 vector。对一个询问定值，会影响到包含这个询问的区间的答案。而这些区间构成了一个后缀，所以线段树维护即可。
• 交换：把两个 vector 交换一下；
• 查询：push_back。

这个是有均摊性质的：vector 内一共只会有 \(\mathcal{O}(m)\) 个元素，每个元素被删的时候会有 \(\mathcal{O}(\log m)\) 的复杂度。所以总复杂度是 \(\mathcal{O}((q+m)\log m)\)。