概率期望
未完待续。
概率
定义
- 基本事件:实验的可能结果。
- 样本空间:基本事件的集合。
- 事件:不严格地说,是样本空间的一个子集。
- 样本空间
上的概率分布 : 的事件到实数的映射。
公式
。- 若事件
两两互斥,则 。 。
离散概率分布
如果一个概率分布定义在有限或无限可数的样本空间上,则该概率分布是离散的。什么是无限可数呢?一个集合
连续均匀概率分布
连续均匀概率分布定义在实数闭区间
对于闭区间
由此可以得出,
条件概率
已知事件
其中
若
贝叶斯定理
因为集合的交具有交换律,即对于两个事件
由于
可以拓展到多个
练习
1
证明布尔不等式:对于可数事件序列
,有 。
归纳即可。
2
均匀随机一个
的排列 ,那么 的概率?
3
证明:
。
4
证明:对于任意事件集
, 。
考虑归纳,当
假设
所以
离散随机变量
离散随机变量
对于任意实数
对于随机变量
两个随机变量
随机变量的期望
对于随机变量
期望的线性性质:若
当两个随机变量
当随机变量
Jensen 不等式:假如
随机变量的方差
对于一个随机变量
可以推出:
当
练习
1
掷两个普通的六面体骰子,最大值的期望?
2
均匀随机一个排列
,最大值的位置的期望?
3
证明:
为非负随机变量, 。
4
个随机变量 ,每个都在 中均匀随机取值,问 。
记
最后一步需要稍微推一下。更简单的方法是利用
5
个球,标号 ,从中随机取 次,每次取完不放回,问球的编号总和的期望。
设随机变量
那么答案为
6
个球,标号 ,从中随机取 次,每次取完有 的概率放回一个, 的概率放回两个相同的球,保证 ,问球的编号总和的期望。
米奇妙妙题。
设
于是可以计算答案:
与第
7
在一条
个点的链上随机游走(每次有 概率向左走一个单位, 概率向右走一个单位,若在端点处则只能向左或向右走),问从一端到达另一端的期望步数。
将点标号
8
在一个
个点的完全图上随机游走,问点 到点 的期望步数。
所有点意义相同。设
解得
9
给定一棵以
为根的树 ,在这棵树上随机游走,问对于所有点 , 所需的步数的期望是多少。
设
化简得:
设
化简得:
算出了
来源
- 《算法导论》(为什么要用算法导论学概率呢?);
- sshwy 的博客。
- RainAir 的博客。
作者:alan-zhao-2007
出处:https://www.cnblogs.com/alan-zhao-2007/p/probabilities-and-expectations.html
版权:本作品采用「署名-非商业性使用-相同方式共享 4.0 国际」许可协议进行许可。
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