P4446 [AHOI2018初中组]根式化简 - 数论

题意

\(T\) 次询问，每次给一个正整数 \(x\)，问最大的整数 \(a\) 满足 \(a^3b=x\)，其中 \(b\) 是正整数。

题解

我想了一个 \(O(Tx^{0.25})\) 的根号分治做法，成功被卡常。

这是正解：

有一个奇妙的性质：把 \(x\) 中所有 \(\le x^{0.25}\) 的质因子都去掉，剩下的数要不然是一个完全立方数，要不然其中所有质因子的次数都小于 \(3\)。

证明：假如剩下的部分能被表示成 \(k^3y\) 的形式（\(k,y>1\)），因为已经去掉了所有 \(\le x^{0.25}\) 的质因子，所以 \(k,y>x^{0.25}\)，所以 \(k^3y>x\)，矛盾。

所以我们筛出 \((10^{18})^{0.25}\) 以内的所有质数，再预处理 \(1\sim 10^{18}\) 内的所有完全立方数，就能过了。

不会分析时间复杂度。。。感觉挺奇妙的，时间复杂度应该和根号分治做法一样，但根号分治就是过不了。

代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cctype>
#include <unordered_map>
#include <cmath>
using namespace std;
#define For(Ti,Ta,Tb) for(int Ti=(Ta);Ti<=(Tb);++Ti)
#define Dec(Ti,Ta,Tb) for(int Ti=(Ta);Ti>=(Tb);--Ti)
template<typename T> void Read(T &x){
	x=0;int _f=1;
	char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch)) _f=(ch=='-'?-1:_f),ch=getchar();
	while(isdigit(ch)) x=x*10+(ch^48),ch=getchar();
	x=x*_f;
}
template<typename T,typename... Args> void Read(T &x,Args& ...others){
	Read(x);Read(others...);
}
typedef long long ll;
const int Inf=0x3f3f3f3f,Q=31655,CBRT=1e6+5;
int prime[Q],prCnt=0,vis[Q];
void Sieve(int mx){
	vis[1]=1;
	For(i,2,mx){
		if(!vis[i]) prime[++prCnt]=i;
		for(int j=1;j<=prCnt&&1LL*i*prime[j]<=mx;++j){
			vis[i*prime[j]]=1;
			if(i%prime[j]==0) break;
		}
	}
}
unordered_map<ll,ll> mp;
int T;
int main(){
	Sieve(Q-1);
	for(ll i=1;i<CBRT;++i) mp.insert({i*i*i,i});
	Read(T);
	while(T--){
		ll x,ans=1;Read(x);
		for(int j=1;j<=prCnt;++j){
			int cnt=0;
			while(x%prime[j]==0){
				++cnt,x/=prime[j];
				if(cnt>=3) ans*=prime[j],cnt-=3;
			}
		}
		if(mp.count(x)) ans*=mp[x];
		printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}