杂乱的数论知识

裴蜀定理

对于 \(a_1,a_2,\dots,a_n\in \Z\)，使得关于 \(x_1,x_2,\dots,x_n\in \Z\) 的方程 \(a_1x_1+a_2x_2+\dots+a_nx_n=b\) 有解的最小正整数 \(b\) 为 \(\gcd(a_1,a_2,\dots,a_n)\)。

解线性同余方程

解方程 \(ax\equiv b\pmod{m}\)。

相当于找到最小的非负整数 \(x\) 使得 \(ax+km=b(k\in \Z)\)。所以直接用 exgcd 求解即可。

一个结论：设 \(g\mid \gcd(a,b,m)\)，则

\[a\equiv b\pmod m\iff \frac{a}{g}\equiv \frac{b}{g}\pmod{\frac{m}{g}} \]

阶

对于互质的正整数 \(a,m\)，最小的满足 \(a^x\equiv 1\pmod m\) 的正整数 \(x\) 称为 \(\mathbf{a}\) 模 \(\mathbf{m}\) 的阶，记作 \(\delta_m(a)\)。

显然阶可以用 BSGS 求解。

性质 \(1\)：\(a,a^2,\dots,a^{\delta_m(a)}\) 模 \(m\) 两两不同余。

证明：

假如存在整数 \(i,j\)，\(i<j\le \delta_m(a)\) 使得 \(a^i\equiv a^j\pmod m\)，那么 \(a^{j-i}\equiv 1\pmod m\)。显然 \(j-i<\delta_m(a)\)，这与阶的定义矛盾。

性质 \(2\)：若 \(a^k\equiv 1\pmod m\)，则 \(\delta_m(a)\mid k\)。

证明：

设 \(k=p\cdot \delta_m(a)+r(p,r\in \Z,0\le r<\delta_m(a))\)，则 \(a^{p\cdot \delta_m(a)+r}\equiv 1\pmod m\)。因为 \(a^{p\cdot \delta_m(a)}\equiv 1\pmod m\)，所以 \(a^r\equiv 1\pmod m\)。若 \(r\ge 1\)，则这与阶的定义矛盾。所以 \(r=0\)。

于是又有一个结论：

性质 \(3\)：若 \(a^p\equiv a^q\pmod m\)，则 \(p\equiv q\pmod{\delta_m(a)}\)。

BSGS：通解

求 \(a^x\equiv b\pmod{m}\) 的通解，其中 \(a\perp m\)。

我们用 BSGS 求出 \(\delta_a(m)\) 以及原方程的一个特解 \(x=x_0\)。那么其通解为：

\[x\equiv x_0\pmod{\delta_a(m)} \]

exBSGS：通解

求 \(a^x\equiv b\pmod{m}\) 的通解。不保证 \(a\perp m\)。

这个是粉兔写法。不会证明正确性，只会感性理解。

设数列 \(b=\{a^i\}_{i=0}^{+\infty}\)，那么 \(b\) 会在 \(\mathcal{O}(\log m)\) 个数以后进入周期。

怎么找到这个周期的开始？我们从小到大枚举一个 \(o\)，若 \(\gcd(a^o,m)=\gcd(a^{o+1},m)\) 则 \(o\) 是开始。可以感性理解一下：此时 \(m\) 和 \(a\) 共同含有的质因子都包含在 \(\gcd\) 里了，所以就可以用 BSGS 了。

假如 \([0,o)\) 中有解，那么其余位置一定无解。这个我不会证。此时，通解就只有这一个解。

否则，设 \(d=\gcd(a^o,m)\)。则方程变为：

\[a^{x-o}\equiv \frac bd\cdot (\frac{a^o}{d})^{-1} \pmod{\frac{m}{d}} \]

于是用 BSGS 即可。

对于通解，