一个数论题

题目

对于任意整数 \(a>1,m,n>0\)，有 \(\gcd(a^m-1,a^n-1)=a^{\gcd(m,n)}-1\)。

裴蜀定理的推论

对于任意整数 \(u,v\)，\(u\perp v\) 的充要条件是存在整数 \(p,q\) 使得 \(pu+qv=1\)。

证明

设 \(d=\gcd(m,n),D=\gcd(a^m-1,a^n-1)\)。

证明 \(a^{d}-1\mid D\)

由于 \(d\mid m\)，设 \(m=k\cdot d\)。

则

\[a^m-1=a^{dk}-1=(a^d-1)(a^{d(k-1)}+a^{d(k-2)}+\dots+1) \]

所以

\[a^d-1\mid a^m-1\tag{1} \]

同理，\(a^d-1\mid a^n-1\)。结合 \((1)\) 式得到 \(a^d-1\mid D\)。

证明 \(D\mid a^d-1\)

因为 \(m,n>0\)，一定有正整数 \(u,v\) 满足

\[mu-nv=d\tag{2} \]

由于 \(D\mid a^m-1\)，所以 \(D\mid a^{mu}-1\)。同理 \(D\mid a^{nv}-1\)，所以 \(D\mid a^{mu}-a^{nv}\)。由 \((2)\) 得 \(D\mid a^{nv+d}-a^{nv}\)，即

\[D\mid a^{nv}(a^d-1)\tag{3} \]

因为 \(D\mid a^m-1\)，设 \(kD=a^m-1\)。移项得 \(a^m-kD=1\)，所以 \(a^m\perp D\)，所以 \(a\perp D\)。

根据 \((3)\)，\(D\mid a^d-1\)。

结论

综上，\(a^d-1\mid D\) 且 \(D\mid a^d-1\)。因为 \(D>0,a^d-1>0\)，所以 \(a^d-1=D\)。