决策单调性

四边形不等式

若函数 $w(i,j)$ 满足对于所有 $a<b<c<d$ 都有 $w(a,c)+w(b,d)\le w(a,d)+w(b,c)$，则称 $w$ 满足四边形不等式。

等价的定义是对于所有 $a<b$，$w(a,b)+w(a+1,b+1)\le w(a+1,b)+w(a,b+1)$。

一维决策单调性

若 $f_i=\underset{j}{min}\{g_j+w(j,i)\}$，且 $w$ 满足四边形不等式，则 $f$ 满足决策单调性。

BZOJ 2739 最远点

根据旋转卡壳的推论，随着当前要计算的点逆时针转动，距离当前点最远的点也会逆时针转动。所以我们断环为链，在分治过程中对中点 $i$，找到最小的 $j>i$ 满足 $\mathrm{dist}(i,j)$ 最大，然后递归到两边即可。

NOI2009 诗人小G

典中典二分栈。

代码：https://www.luogu.com.cn/paste/2fdafc75。

区间单调性

若函数 $w(i,j)$ 满足对于所有 $l^{\prime }\le l\le r\le r^{\prime }$，有 $w(l^{\prime },r^{\prime })\ge w(l,r)$，则 $w$ 满足区间单调性。

二维决策单调性

若 $f_{l,r}=\underset{l\le i<r}{min}\{f_{l,i}+f_{i+1,r}\}+w(l,r)$ 且 $w$ 满足四边形不等式与区间单调性，设 $p_{l,r}$ 为 $f_{l,r}$ 的最左边的最优转移点，那么：

1. $p_{l,r-1}\le p_{l,r}\le p_{l+1,r}$；
2. $f$ 满足四边形不等式。

根据第一条，我们可以将这样的转移优化到 $\mathcal{O}(n^2)$，$n$ 是 $l,r$ 的范围。

四边形不等式的讨论

直接抄 OI-wiki！

1. 若 $w_1,w_2$ 满足四边形不等式，那么对于所有 $a,b>0$，$a{w}_1+b{w}_2$ 满足四边形不等式。
2. 若存在函数 $f,g$ 使得 $w(l,r)=f(r)-g(l)$，那么 $w$ 满足四边形恒等式。
3. 若函数 $h$ 满足 $h^{\prime }(x)\ge 0$ 且 $h^{\prime }$ 单调不减，且 $w$ 满足四边形不等式和区间单调性，则 $h(w(l,r))$ 满足四边形不等式和区间单调性。
4. 若函数 $h$ 满足 $h^{\prime }$ 单调不减，且 $w$ 满足四边形恒等式和区间单调性，则 $h(w(l,r))$ 满足四边形不等式。

路径不交性

P5897 [IOI2013]wombats

区间 LCS

给定长度为 $n$ 的字符串 $S$ 和长度为 $m$ 的字符串 $T$，$q$ 次询问区间 LCS。
$1\le n,m\le 3000,1\le q\le {10}^5$，时限 8s。

假设 $n,m$ 同阶。

过于恐怖。我只听懂了 $\mathcal{O}(n^3+nq)$ 的做法。

暴力就是对于每次询问，设 $f_{a,b}$ 为第一个串的前 $a$ 个位置与第二个串的前 $b$ 个位置的 LCS，然后 $f_{a,b}=max\{f_{a,b-1},f_{a-1,b},f_{a-1,b-1}+[S_a=T_b]\}$。可以发现这个转移类似一个有向的网格图，所以每次询问就是问网格图上两个点之间的最长路。

考虑分治，我们只需要统计经过中线的询问。枚举中线上的每个点，并计算以它为起点到其他每个点的最长路，以及从其他所有点到它的最长路。这个可以直接递推。然后对于每个询问，枚举中线上的一个点，并用中线左右两边的最长路之和更新答案。

设当前分治到的面积是 $S$，复杂度满足递归式 $T(S)=2T(\frac{S}{2})+\mathcal{O}(S\sqrt{S})$，解得 $T(S)=\mathcal{O}(S\sqrt{S})=\mathcal{O}(n^3)$。加上询问的复杂度 $\mathcal{O}(qn)$，即可得到总复杂度。

$\mathcal{O}(n^2\log n+qn)$ 的做法大概是，我们发现当 $T$ 或 $S$ 的起始位置 $+1$ 时，我们可以找到一条轮廓线，只有它的下面的位置的 dp 值会 $-1$，其他位置不变。然后就不懂了。

网格图分治题

给定 $3\times n$ 的边带权的网格图，每条边都从左指向右，或者上指向下。求所有可达的点对之间的最短路之和。

还是分治。统计经过每条中线的最短路之和。对于中线左边的点 $(i,j)$ 和中线右边的点 $(i^{\prime },j^{\prime })$，答案会加上从上面走、从中间走、从下面走这三种方案的 $min$。枚举其中哪个 $min$ 会取到，再枚举中线右边的一个点，这就形成了一个二维数点问题，扫描线即可。