莫队

普通莫队

莫队通过将所有询问按某种顺序排序，并暴力地增、删元素来在询问间转移。

莫队的适用条件是，信息不能高效地合并，但可以高效地加入、删除。具体地，若加入、删除一个元素的复杂度都为 $\mathcal{O}(a)$，那么莫队的复杂度是 $\mathcal{O}(na\sqrt{m})$。

复杂度分析

我们将序列分成大小约为 $S$ 的若干段，段个数约为 $\frac{n}{S}$。对于所有询问，以左端点所在块为第一关键字，右端点为第二关键字排序。考虑在同一个块内，指针移动的复杂度：左端点会贡献 $\mathcal{O}(xS)$，其中 $x$ 是左端点在这个块内的询问个数；右端点会贡献 $\mathcal{O}(n)$。所以总复杂度是 $\mathcal{O}(mS+\frac{n^2}{S})$，当 $S=\frac{n}{\sqrt{m}}$ 时最优，为 $\mathcal{O}(n\sqrt{m})$ 次指针移动。

常数优化

对于左端点在奇数块的询问，将其按照右端点从小到大排序；左端点在偶数块的询问，右端点从大到小排序。

[AHOI2013] 作业

给定整数序列 $\{a_n\}$，$m$ 次查询区间 $[l,r]$ 内值在 $[a,b]$ 中的不同数的个数。

$1\le n\le {10}^5,1\le m\le {10}^5$。

如果对序列维做莫队，用树状数组维护每种数是否出现，这是 $\mathcal{O}(n\sqrt{m}\log n)$ 的。但我们发现它有 $\mathcal{O}(n\sqrt{m})$ 次修改和 $\mathcal{O}(m)$ 次询问，若用分块将修改和询问的复杂度分别弄成 $\mathcal{O}(1)$ 和 $\mathcal{O}(\sqrt{n})$，就做完了。

值域分块，它需要支持 $\mathcal{O}(1)$ 单点修改，$\mathcal{O}(\sqrt{n})$ 区间求和，直接做就行了。

总复杂度 $\mathcal{O}(n\sqrt{m}+m\sqrt{n})$。

[Ynoi2016] 这是我自己的发明

给定一棵有根树，每个点有颜色 $a_i$，开始时根是 $1$。有 $m$ 次操作，每次是以下两种之一：

• 给定 $x$，将根更改为 $x$；
• 给定 $x,y$，询问有多少个二元组 $(u,v)$ 满足 $u$ 在 $x$ 的子树内，$v$ 在 $y$ 的子树内，且 $a_u=a_v$。

我们以 $1$ 为根求出每个点的 dfs 序。不管根是哪个点，一个点的子树对应在 dfn 上一定是 $\mathcal{O}(1)$ 个区间。有三种可能：

• 根在 $u$ 的某个儿子的子树内；
• 根是点 $u$；
• 根不在点 $u$ 的子树内。

所以每个询问都可以拆成 $\mathcal{O}(1)$ 个形如“给定 $l_1,r_1,l_2,r_2$，求 $[l_1,r_1]$ 和 $[l_2,r_2]$ 中有多少颜色相同的点对”的询问。而这样的询问是可差分的。莫队即可。

坑点：应该将点的颜色映射在 dfn 上。

代码：https://github.com/YOYO-UIAT/oi-code/blob/main/luogu/P4689.cpp。

JOISC 2014 历史研究

给定整数序列 $\{a_n\}$，定义 $c_{l,r}(x)$ 为 $x$ 在 $a_{l\dots r}$ 中的出现次数，$m$ 次询问，每次给定区间 $[l,r]$，求 $\underset{x}{max}\{x\cdot c_{l,r}(x)\}$。

$1\le n,m\le {10}^5$。

不用回滚莫队。可以发现答案只有 $\mathcal{O}(n)$ 种，将这些可能的答案放在一起离散化，然后值域分块即可。复杂度 $\mathcal{O}(n\sqrt{m}+m\sqrt{n})$。

代码：https://github.com/YOYO-UIAT/oi-code/blob/main/luogu/AT1219.cpp。

[Ynoi2015] 盼君勿忘

给定整数序列 $\{a_n\}$，$m$ 次询问，每次给定区间 $[l,r]$ 和模数 $p$，求区间中所有子序列去重后的和 $modp$。

$1\le n,m,a_i\le {10}^5$。

设询问的区间长度为 $L$，对于出现了 $c$ 次的数 $x$，它对答案的贡献是 $x(2^L-2^{L-c})$。$x{2}^L$ 的维护是很平凡的，只需维护区间中出现过的数之和。考虑 $x{2}^{L-c}$ 如何维护：可以发现区间中不同的出现次数只有 $\mathcal{O}(\sqrt{n})$ 种（这是常见套路），所以维护每一种出现次数的 $x$ 之和，回答询问时光速幂即可。

P3604 美好的每一天

给定一个由小写字母组成的字符串 $S$，$m$ 次询问某个区间内有多少子区间可以重排成一个回文串。

$1\le |S|,m\le 6\times {10}^4$，3s。

首先，一个字符串 $T$ 可以重排成回文串，当且仅当其中有至多一种字母出现了奇数次。我们将 $\mathtt{a}\sim \mathtt{z}$ 状压成 $2^0,2^1,\dots ,2^{25}$，那么就是询问一个区间内有多少子区间满足它的异或和的 $\mathrm{popcount}\le 1$。又因为区间异或和可以用前缀异或和表示，所以就做完了。

高维莫队

我不会证的结论：对于 $k$ 维莫队，假如有 $m$ 个询问，且每一维的大小限制分别为 $a_1,a_2,\dots ,a_k$，那么将前 $k-1$ 维的分块大小都设成

$$\sqrt[k]{\frac{\prod _{i=1}^k{a}_i}{m}}$$

是最优的，时间复杂度是

$$\mathcal{O}\left(\sqrt[k]{m^{k-1}\prod _{i=1}^k{a}_i}\right).$$

二次离线莫队

对于一些问题，普通莫队的做法是维护一个变量表示当前的答案，然后用数据结构维护一些信息来更新这个答案，这会在数据结构上产生 $\mathcal{O}(n\sqrt{m})$ 次询问和 $\mathcal{O}(n\sqrt{m})$ 次修改。若询问可差分，我们可以将在数据结构上的询问再次离线，然后做扫描线。

P5047 [Ynoi2019 模拟赛] Yuno loves sqrt technology II

给定整数序列 $\{a_n\}$，$m$ 次查询一个区间的逆序对个数。

$1\le n,m\le {10}^5$，250ms，32MB。

设 $F(l,r,p)=\sum _{l\le i\le r}[a_i<a_p],G(l,r,p)=\sum _{l\le i\le r}[a_i>a_p]$，设当前答案为 $\mathrm{ans}$。在莫队过程中：

• $l$ 左移：$l\leftarrow l-1,\mathrm{ans}\leftarrow \mathrm{ans}+F(l+1,r,l)$；
• $r$ 右移：$r\leftarrow r+1,\mathrm{ans}\leftarrow \mathrm{ans}+G(l,r-1,r)$；
• $l$ 右移或 $r$ 左移：同理。

显然 $F$ 和 $G$ 都是可差分的，所以关于 $\mathrm{ans}$ 的更改可以分为：(1) $F(1,x,x)$ 或 $G(1,x,x)$；(2) $F(1,x,y)$ 或 $G(1,x,y)$。

对于第一种，树状数组与处理即可；对于第二种，将所有这样的询问做扫描线，用 $\mathcal{O}(\sqrt{n})$ 单点修改，$\mathcal{O}(1)$ 区间求和的分块即可。

这样时间复杂度可以做到 $\mathcal{O}(n(\sqrt{n}+\sqrt{m}))$，但空间也带根号，会被卡空间。但考虑到每次移动指针都是一段连续的询问，所以只需要存 $\mathcal{O}(m)$ 个询问即可。具体细节参见代码。

代码：https://github.com/YOYO-UIAT/oi-code/blob/main/luogu/P5047.cpp。

树上括号序莫队

用于处理查询树上一段链的信息，可以做到与普通莫队相同的时间复杂度。

将树映射到括号序上，每个点在括号序中恰好出现两次，位置设为 $l_u$ 和 $r_u$。设当前查询的是 $x\to y$ 的链上的信息：

• 若 $\mathrm{lca}(x,y)=x$，则用莫队计算括号序中在 $[l_x,l_y]$ 中恰好出现过一次的点的信息；
• 否则，计算 $[r_x,l_y]$ 中恰好出现过一次的点的信息，并将 $\mathrm{lca}$ 的信息额外加上。

带修莫队

加一维时间维，和三维莫队本质相同。假如有 $c$ 个修改和 $q$ 个询问，那么分块的大小是 $\sqrt[3]{\frac{n^{2}c}{q}}$，时间复杂度是 $\mathcal{O}(\sqrt[3]{n^{2}c{q}^2})$。当然块长一般都会直接设成 $n^{2/3}$。

WC2013 糖果公园

给定一棵 $n$ 个点的树，$m$ 次操作，每次是单点修改或者查询一段链上的简单莫队信息。

$1\le n,m\le {10}^5$，6s。

直接用树上带修莫队做就行了。注意若修改的次数是 $0$，块长要特判。

代码：https://github.com/YOYO-UIAT/oi-code/blob/main/luogu/P4074.cpp。

回滚莫队

假如只能支持快速加入或者删除，并且支持快速撤销，仍然可以做到 $\mathcal{O}(n\sqrt{m})$ 的时间复杂度。

P5906 不删除莫队

给定整数数列 $\{a_n\}$，多次询问某个区间 $[l,r]$ 内的 $\underset{l\le i<j\le r\wedge a_i=a_j}{max}j-i$，若不存在则输出 $0$。

$1\le n,m\le 2\times {10}^5$。

将序列分成 $\frac{n}{\sqrt{m}}$ 块，按照左端点所在块的编号为第一关键字、右端点为第二关键字，将所有询问排序。对于每一个询问：

1. 若当前左端点与上次的左端点不在同一个块内，撤销所有操作，并将莫队的指针放在当前块的右端点；
2. 若左端点与右端点在同一个块内，暴力求解，转 $1$；
3. 移动莫队的右指针；
4. 移动莫队的左指针，然后计算答案；
5. 撤销 $4$ 中的操作。

可以理解为，对于每一个块，左端点在这个块内的询问，右端点是单调递增的，所以在右端点处只会加不会删；对于左端点，它移动的距离每次不超过块大小，所以每次计算完暴力撤销复杂度就是对的。

代码：https://github.com/YOYO-UIAT/oi-code/blob/main/luogu/P5906.cpp。

不添加莫队：P4137 Rmq Problem / mex

多次询问某个区间的 $\mathrm{mex}$。

$1\le n,m\le 2\times {10}^5$。

与不删除莫队相似，我们先将询问排序，但这次对于右端点要降序排序。对于每一个询问：

1. 若当前左端点与上次的左端点不在同一个块内，撤销直到莫队的右指针到达 $n$，然后删除直到莫队的左指针到达当前块的左端点；
2. 不需要暴力求解；
3. 移动莫队的右指针；
4. 移动莫队的左指针，然后计算答案；
5. 撤销 $4$ 中的操作。

代码：https://github.com/YOYO-UIAT/oi-code/blob/main/luogu/P4137.cpp。

PS：这题有非常简单的 $1\log$ 做法。