莫队

普通莫队

莫队通过将所有询问按某种顺序排序，并暴力地增、删元素来在询问间转移。

莫队的适用条件是，信息不能高效地合并，但可以高效地加入、删除。具体地，若加入、删除一个元素的复杂度都为 \(\mathcal{O}(a)\)，那么莫队的复杂度是 \(\mathcal{O}(na\sqrt{m})\)。

复杂度分析

我们将序列分成大小约为 \(S\) 的若干段，段个数约为 \(\frac{n}{S}\)。对于所有询问，以左端点所在块为第一关键字，右端点为第二关键字排序。考虑在同一个块内，指针移动的复杂度：左端点会贡献 \(\mathcal{O}(xS)\)，其中 \(x\) 是左端点在这个块内的询问个数；右端点会贡献 \(\mathcal{O}(n)\)。所以总复杂度是 \(\mathcal{O}(mS+\frac{n^2}{S})\)，当 \(S=\frac{n}{\sqrt{m}}\) 时最优，为 \(\mathcal{O}(n\sqrt{m})\) 次指针移动。

常数优化

对于左端点在奇数块的询问，将其按照右端点从小到大排序；左端点在偶数块的询问，右端点从大到小排序。

[AHOI2013] 作业

给定整数序列 \(\{a_n\}\)，\(m\) 次查询区间 \([l,r]\) 内值在 \([a,b]\) 中的不同数的个数。

\(1\le n\le 10^5,1\le m\le 10^5\)。

如果对序列维做莫队，用树状数组维护每种数是否出现，这是 \(\mathcal{O}(n\sqrt{m}\log n)\) 的。但我们发现它有 \(\mathcal{O}(n\sqrt{m})\) 次修改和 \(\mathcal{O}(m)\) 次询问，若用分块将修改和询问的复杂度分别弄成 \(\mathcal{O}(1)\) 和 \(\mathcal{O}(\sqrt{n})\)，就做完了。

值域分块，它需要支持 \(\mathcal{O}(1)\) 单点修改，\(\mathcal{O}(\sqrt{n})\) 区间求和，直接做就行了。

总复杂度 \(\mathcal{O}(n\sqrt{m}+m\sqrt{n})\)。

[Ynoi2016] 这是我自己的发明

给定一棵有根树，每个点有颜色 \(a_i\)，开始时根是 \(1\)。有 \(m\) 次操作，每次是以下两种之一：

• 给定 \(x\)，将根更改为 \(x\)；
• 给定 \(x,y\)，询问有多少个二元组 \((u,v)\) 满足 \(u\) 在 \(x\) 的子树内，\(v\) 在 \(y\) 的子树内，且 \(a_u=a_v\)。

我们以 \(1\) 为根求出每个点的 dfs 序。不管根是哪个点，一个点的子树对应在 dfn 上一定是 \(\mathcal{O}(1)\) 个区间。有三种可能：

• 根在 \(u\) 的某个儿子的子树内；
• 根是点 \(u\)；
• 根不在点 \(u\) 的子树内。

所以每个询问都可以拆成 \(\mathcal{O}(1)\) 个形如“给定 \(l_1,r_1,l_2,r_2\)，求 \([l_1,r_1]\) 和 \([l_2,r_2]\) 中有多少颜色相同的点对”的询问。而这样的询问是可差分的。莫队即可。

坑点：应该将点的颜色映射在 dfn 上。

代码：https://github.com/YOYO-UIAT/oi-code/blob/main/luogu/P4689.cpp。

JOISC 2014 历史研究

给定整数序列 \(\{a_n\}\)，定义 \(c_{l,r}(x)\) 为 \(x\) 在 \(a_{l\dots r}\) 中的出现次数，\(m\) 次询问，每次给定区间 \([l,r]\)，求 \(\max_x\{x\cdot c_{l,r}(x)\}\)。

\(1\le n,m\le 10^5\)。

不用回滚莫队。可以发现答案只有 \(\mathcal{O}(n)\) 种，将这些可能的答案放在一起离散化，然后值域分块即可。复杂度 \(\mathcal{O}(n\sqrt{m}+m\sqrt{n})\)。

代码：https://github.com/YOYO-UIAT/oi-code/blob/main/luogu/AT1219.cpp。

[Ynoi2015] 盼君勿忘

给定整数序列 \(\{a_n\}\)，\(m\) 次询问，每次给定区间 \([l,r]\) 和模数 \(p\)，求区间中所有子序列去重后的和 \(\bmod p\)。

\(1\le n,m,a_i\le 10^5\)。

设询问的区间长度为 \(L\)，对于出现了 \(c\) 次的数 \(x\)，它对答案的贡献是 \(x(2^L-2^{L-c})\)。\(x2^L\) 的维护是很平凡的，只需维护区间中出现过的数之和。考虑 \(x2^{L-c}\) 如何维护：可以发现区间中不同的出现次数只有 \(\mathcal{O}(\sqrt{n})\) 种（这是常见套路），所以维护每一种出现次数的 \(x\) 之和，回答询问时光速幂即可。

P3604 美好的每一天

给定一个由小写字母组成的字符串 \(S\)，\(m\) 次询问某个区间内有多少子区间可以重排成一个回文串。

\(1\le \lvert S\rvert,m\le 6\times 10^4\)，3s。

首先，一个字符串 \(T\) 可以重排成回文串，当且仅当其中有至多一种字母出现了奇数次。我们将 \(\mathtt{a}\sim\mathtt{z}\) 状压成 \(2^0,2^1,\dots,2^{25}\)，那么就是询问一个区间内有多少子区间满足它的异或和的 \(\operatorname{popcount}\le 1\)。又因为区间异或和可以用前缀异或和表示，所以就做完了。

高维莫队

我不会证的结论：对于 \(k\) 维莫队，假如有 \(m\) 个询问，且每一维的大小限制分别为 \(a_1,a_2,\dots,a_k\)，那么将前 \(k-1\) 维的分块大小都设成

\[\sqrt[k]{\frac{\prod_{i=1}^k a_i}{m}} \]

是最优的，时间复杂度是

\[\mathcal{O}\left(\sqrt[k]{m^{k-1}\prod_{i=1}^k a_i}\right). \]

二次离线莫队

对于一些问题，普通莫队的做法是维护一个变量表示当前的答案，然后用数据结构维护一些信息来更新这个答案，这会在数据结构上产生 \(\mathcal{O}(n\sqrt{m})\) 次询问和 \(\mathcal{O}(n\sqrt{m})\) 次修改。若询问可差分，我们可以将在数据结构上的询问再次离线，然后做扫描线。

P5047 [Ynoi2019 模拟赛] Yuno loves sqrt technology II

给定整数序列 \(\{a_n\}\)，\(m\) 次查询一个区间的逆序对个数。

\(1\le n,m\le 10^5\)，250ms，32MB。

设 \(F(l,r,p)=\sum_{l\le i\le r} [a_i<a_p],G(l,r,p)=\sum_{l\le i\le r} [a_i>a_p]\)，设当前答案为 \(\mathrm{ans}\)。在莫队过程中：

• \(l\) 左移：\(l\gets l-1,\mathrm{ans}\gets \mathrm{ans}+F(l+1,r,l)\)；
• \(r\) 右移：\(r\gets r+1,\mathrm{ans}\gets \mathrm{ans}+G(l,r-1,r)\)；
• \(l\) 右移或 \(r\) 左移：同理。

显然 \(F\) 和 \(G\) 都是可差分的，所以关于 \(\mathrm{ans}\) 的更改可以分为：(1) \(F(1,x,x)\) 或 \(G(1,x,x)\)；(2) \(F(1,x,y)\) 或 \(G(1,x,y)\)。

对于第一种，树状数组与处理即可；对于第二种，将所有这样的询问做扫描线，用 \(\mathcal{O}(\sqrt{n})\) 单点修改，\(\mathcal{O}(1)\) 区间求和的分块即可。

这样时间复杂度可以做到 \(\mathcal{O}(n(\sqrt{n}+\sqrt{m}))\)，但空间也带根号，会被卡空间。但考虑到每次移动指针都是一段连续的询问，所以只需要存 \(\mathcal{O}(m)\) 个询问即可。具体细节参见代码。

代码：https://github.com/YOYO-UIAT/oi-code/blob/main/luogu/P5047.cpp。

树上括号序莫队

用于处理查询树上一段链的信息，可以做到与普通莫队相同的时间复杂度。

将树映射到括号序上，每个点在括号序中恰好出现两次，位置设为 \(l_u\) 和 \(r_u\)。设当前查询的是 \(x\to y\) 的链上的信息：

• 若 \(\operatorname{lca}(x,y)=x\)，则用莫队计算括号序中在 \([l_x,l_y]\) 中恰好出现过一次的点的信息；
• 否则，计算 \([r_x,l_y]\) 中恰好出现过一次的点的信息，并将 \(\operatorname{lca}\) 的信息额外加上。

带修莫队

加一维时间维，和三维莫队本质相同。假如有 \(c\) 个修改和 \(q\) 个询问，那么分块的大小是 \(\sqrt[3]{\frac{n^2c}{q}}\)，时间复杂度是 \(\mathcal{O}(\sqrt[3]{n^2cq^2})\)。当然块长一般都会直接设成 \(n^{2/3}\)。

WC2013 糖果公园

给定一棵 \(n\) 个点的树，\(m\) 次操作，每次是单点修改或者查询一段链上的简单莫队信息。

\(1\le n,m\le 10^5\)，6s。

直接用树上带修莫队做就行了。注意若修改的次数是 \(0\)，块长要特判。

代码：https://github.com/YOYO-UIAT/oi-code/blob/main/luogu/P4074.cpp。

回滚莫队

假如只能支持快速加入或者删除，并且支持快速撤销，仍然可以做到 \(\mathcal{O}(n\sqrt{m})\) 的时间复杂度。

P5906 不删除莫队

给定整数数列 \(\{a_n\}\)，多次询问某个区间 \([l,r]\) 内的 \(\max_{l\le i<j\le r\land a_i=a_j} j-i\)，若不存在则输出 \(0\)。

\(1\le n,m\le 2\times 10^5\)。

将序列分成 \(\frac{n}{\sqrt{m}}\) 块，按照左端点所在块的编号为第一关键字、右端点为第二关键字，将所有询问排序。对于每一个询问：

1. 若当前左端点与上次的左端点不在同一个块内，撤销所有操作，并将莫队的指针放在当前块的右端点；
2. 若左端点与右端点在同一个块内，暴力求解，转 \(1\)；
3. 移动莫队的右指针；
4. 移动莫队的左指针，然后计算答案；
5. 撤销 \(4\) 中的操作。

可以理解为，对于每一个块，左端点在这个块内的询问，右端点是单调递增的，所以在右端点处只会加不会删；对于左端点，它移动的距离每次不超过块大小，所以每次计算完暴力撤销复杂度就是对的。

代码：https://github.com/YOYO-UIAT/oi-code/blob/main/luogu/P5906.cpp。

不添加莫队：P4137 Rmq Problem / mex

多次询问某个区间的 \(\operatorname{mex}\)。

\(1\le n,m\le 2\times 10^5\)。

与不删除莫队相似，我们先将询问排序，但这次对于右端点要降序排序。对于每一个询问：

1. 若当前左端点与上次的左端点不在同一个块内，撤销直到莫队的右指针到达 \(n\)，然后删除直到莫队的左指针到达当前块的左端点；
2. 不需要暴力求解；
3. 移动莫队的右指针；
4. 移动莫队的左指针，然后计算答案；
5. 撤销 \(4\) 中的操作。

代码：https://github.com/YOYO-UIAT/oi-code/blob/main/luogu/P4137.cpp。

PS：这题有非常简单的 \(1\log\) 做法。