IOI 2019 题解

Day1 A 排列鞋子

从前往后考虑每个位置 \(i\)，并找到与它匹配的最靠前的元素，将这两个元素放在最靠前的空位置，最后算一下逆序对个数即可。

Day1 B 景点划分

假设 \(a\le b\le c\)，于是有 \(a\le \frac{n}{3},b\le\frac{n}{2}\)。

任取图的一棵 DFS 树，设这棵树以 \(1\) 为根。假如能找到一个点 \(u\) 满足 \(\mathrm{size}_u\in [a,n-b]\) 或者 \(\mathrm{size}_u\in [b,n-a]\)，那么就做完了。因为 \(a\le b\le n-b\le n-a\)，所以其实就是要找一个 \(\mathrm{size}_u\in [a,n-a]\) 的 \(u\)。

如果没有这样的 \(u\)，那么我们需要对生成树做调整。考虑那些 \(\mathrm{size}_u>n-a\) 的 \(u\)，因为 \(a\le \frac{n}{3}\)，所以这样的 \(u\) 一定分布在以 \(1\) 为端点的一条链上。找到这条链最底下的那个点 \(v\)，我们需要将 \(v\) 调整成满足 \(\mathrm{size}_v\le n-a\) 的。此时只有那些一端在 \(v\) 的儿子的子树内，一端在 \(v\) 的祖先上的返祖边是有用的。每条这样的返祖边都可以让 \(\mathrm{size}_v\gets \mathrm{size}_v-\mathrm{size}_x\)，其中 \(x\) 是 \(v\) 的某个儿子。

并且，这样调整不会让 \(\mathrm{size}_v<a\)，因为 \(n-a-a\ge a\)，而 \(v\) 的所有儿子的 \(\mathrm{size}\) 都 \(<a\)，所以如果能让 \(\mathrm{size}_v\le n-a\)，那么就一定有解，否则一定无解。

Day1 C 矩形区域

一个重要性质是：合法的矩形个数是 \(O(nm)\) 的。

我们统计出对于每个行 \(i\)，其中有哪些满足 \(a_{i,l-1},a_{i,r+1}\) 均大于 \([l,r]\) 中的最大值的区间 \([l,r]\)。感性理解，对于每一行，这样的区间个数是 \(O(m)\) 的。

然后枚举矩形的列边界 \([l,r]\)。考虑那些合法区间中有 \([l,r]\) 的行，这样的行会形成若干值域连续段。只需要对于每个值域连续段分别计算即可，因为段间矩形一定不合法。

考虑一个值域连续段，设它在行这一维上包含了 \([L,R]\)。考察一个矩形 \((x_1,L),(x_2,R)\)，因为我们已经能保证每行都是合法的了，所以只需要预处理 \(u_{i,j},d_{i,j}\) 表示 \((i,j)\) 顶上/底下那部分中第一个大于等于 \(a_{i,j}\) 的位置，那么这个矩形合法的充要条件就是 \(\min_{L\le j\le R} \{d_{x_1-1,j}\}>x_2\land \max_{L\le j\le R} \{u_{x_2+1,j}\}<x_1\)。于是做一遍二维数点即可统计。

总时间复杂度 \(O(nm\log n)\)。

Day2 A 折线

呃。

Day2 B 视觉程序

\(|r_1-r_2|+|c_1-c_2|=K\) 是不好做的，考虑转成切比雪夫距离，\(\max(|r_1-r_2|,|c_1-c_2|)=K\)。这样只需要实现对于 \(k\in \{K-1,K\}\)，算出 \(|r_1-r_2|\) 是否 \(\le k\)，以及 \(|c_1-c_2|\) 是否 \(\le k\)。这两个都是好实现的。

Day2 C

不会补了。