神秘东西

交换上下指标

对于正整数 \(n,m\)：

\[\binom{n}{m}=\binom{n}{n-m}=(-1)^{n-m}\binom{-m-1}{n-m}. \]

试看看！

\[\begin{aligned} &\sum_{-q\le k\le l} \binom{q+k}{m}\binom{l-k}{n}\\ &=\sum_{0\le k\le q+l} \binom{k}{m}\binom{q+l-k}{n}\\ &=\sum_{m\le k\le q+l-n} \binom{k}{m}\binom{q+l-k}{n}\\ &=\sum_{0\le k\le q+l-n-m} (-1)^{k-m}\binom{-m-1}{k-m}(-1)^{q+l-k-n}\binom{-n-1}{q+l-k-n}\\ &=(-1)^{q+l-n-m}\binom{-m-n-2}{q+l-n-m}\\ &=\binom{q+l+1}{q+l-n-m}\\ &=\binom{q+l+1}{n+m+1}. \end{aligned} \]