《组合数学》学习笔记

1.2 一一对应

定理 1-1 (Cayley 定理)

完全图 $K_{n}$ 有 $n^{n - 2}$ 种生成树。

书中给出的证明方式（构造 $b_{1 \dots (n - 2)}$ ）实际上是 Prufer 序列。

1.4~1.6 排列组合的变种

圆周排列

从 $n$ 个中选 $k$ 个在圆周上进行排列，方案数以 $Q (n, k)$ 表示。

根据定义可得 $Q (n, k) = \frac{A (n, k)}{k}$ 。

可重组合

在 $n$ 个元素中取 $r$ 个，可以重复取，方案数为 $(\binom{n + r - 1}{r})$ 。

证明

等价于在 ${1, 2, \dots, n}$ 中取 $r$ 个可以重复的元素 $(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{r})$ ，其中 $a_{1} \leq a_{2} \leq \dots \leq a_{r}$ 。

将 $a_{i} \leftarrow a_{i} + i - 1$ ，那么它就转换成了从 ${1, 2, \dots, n + r - 1}$ 中选择 $(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{r})$ 且 $a_{1} < a_{2} < \dots < a_{n}$ 的 $r$ 元组个数，即为 $(\binom{n + r - 1}{r})$ 。

反之亦然。

不相邻的组合

在 $A = {1, 2, \dots, n}$ 中取 $r$ 个不相邻元素的方案数为 $(\binom{n - r + 1}{r})$ 。

证明

等价于在 $A$ 中取 $r$ 元组 $(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{r})$ 且 $a_{1} < a_{2} - 1, a_{2} < a_{3} - 1, \dots, a_{r - 1} < a_{r} - 1$ 的个数。

将 $a_{i} \leftarrow a_{i} - i + 1$ 即可。

反之亦然。

线性方程组的解数

线性方程 $x_{1} + \dots + x_{n} = b$ 的非负整数解的个数为 $(\binom{n + b - 1}{b})$ 。

可重组合的证明

可以看作 $n$ 个有区别的盒子内放 $b$ 个无区别的球，允许一个盒子内放多个球，即为 $(\binom{n + b - 1}{b})$ 。

隔板法的证明

也可以看作 $(b + 1)$ 个位置里放入 $(n - 1)$ 个隔板，且允许一个位置放多个隔板。于是它的方案数也是 $(\binom{n + b - 1}{b})$ 。

1.7 组合意义

例 1-33

求证： $(\binom{n + r + 1}{r}) = (\binom{n + r}{r}) + (\binom{n + r - 1}{r - 1}) + \dots + (\binom{n + 1}{1}) + (\binom{n}{0})$ 。

代数推导

\begin{aligned} LHS & = (\binom{n + r}{r}) + (\binom{n + r}{r - 1}) \\ = (\binom{n + r}{r}) + (\binom{n + r - 1}{r - 1}) + (\binom{n + r - 1}{r - 2}) \\ = \dots \\ = RHS \end{aligned}

组合意义

我们考虑一个原点在 $(0, 0)$ 的网格。左式即为 $(0, 0) \to (n + 1, r)$ 的路径条数。那么，从第 $n$ 行到第 $(n + 1)$ 行，显然有 $r$ 种情况：经过 $(n, r), (n, r - 1), \dots, (n, 0)$ ，且从这些点到 $(n + 1, r)$ 的路径是唯一的。于是对于每个中间点计算从 $(0, 0)$ 到它的路径条数即可。

例 1-35

求证： $(\binom{n}{0}) + (\binom{n}{1}) + (\binom{n}{2}) + \dots + (\binom{n}{n}) = 2^{n}$ 。

代数推导

将 ${\begin{cases} x = 1 \\ y = 1 \end{cases}$ 代入二项式定理 $(x + y)^{n}$ 即可。

组合意义

考虑一个网格，其中有一条 $(0, n) \leftrightarrow (n, 0)$ 的线段。可以发现，这条线段上各点到 $(0, 0)$ 的曼哈顿距离相同，都为 $n$ 。所以相当于一共要走 $n$ 步，每步可以向上或向右走，方案数为 $2^{n}$ 。

另一种计算方法是，分别统计线段上 $n$ 个点的方案数，即 $(\binom{n}{0}) + (\binom{n}{1}) + (\binom{n}{2}) + \dots + (\binom{n}{n})$ 。

两者相等，证毕。

例 1-37

求证： $(\binom{m + n}{r}) = (\binom{m}{0}) (\binom{n}{r}) + (\binom{m}{1}) (\binom{n}{r - 1}) + \dots + (\binom{m}{r}) (\binom{n}{0}), r \leq min (n, m)$ 。

组合意义一

考虑两个集合 $A, B$ ， $| A | = m, | B | = n$ ，我们要从 $A, B$ 中共取出 $r$ 个元素，即 $(\binom{m + n}{r})$ 。

那么一共有 $r$ 种取法： $A$ 中取 $0 \dots r$ 个， $B$ 中取 $r \dots 0$ 个。对于每种情况，表示一下即可。

组合意义二

考虑一个网格， $(\binom{m + n}{r})$ 即表示 $(0, 0) \to (m + n - r, r)$ 的路径条数。

考虑一条 $(m - r, r) \leftrightarrow (m, 0)$ 的线段。显然每条 $(0, 0) \to (m + n - r, r)$ 的路径都需要经过这条线段上的某个点，设这个点为 $(m - x, x)$ ，那么 $(0, 0) \to (m - x, x)$ 的条数为 $(\binom{m}{x})$ ， $(m - x, x) \to (m + n - r, r)$ 的条数为 $(\binom{(m + n - r) - (m - x) + (r - x)}{r - x}) = (\binom{n}{r - x})$ 。根据乘法原理，得证。

1.8 应用举例

例 1-44

在一个网格中，问 $(0, 0) \to (m, n)$ 且经过的所有点 $(a, b)$ 都要满足 $a < b$ 的路径数。保证 $m < n$ 。

首先，第一步一定是 $(0, 0) \to (0, 1)$ 。考虑 $(0, 1) \to (m, n)$ 的路径中，有多少条路径是不合法的。

可以发现，一条不合法的路径一定触碰了直线 $y = x$ 。将这条不合法的路径做其关于 $y = x$ 的对称路径，那么这个新路径就是一条 $(1, 0) \to (m, n)$ 的路径。反之亦然，所以 $(0, 1) \to (m, n)$ 的不合法路径与 $(1, 0) \to (m, n)$ 的路径一一对应。

所以方案数为 $(\binom{m + n - 1}{n - 1}) - (\binom{m + n - 1}{n})$ 。

2.2 母函数

定义 2-1

对于序列 $C_{0}, C_{1}, \dots$ 构造一函数 $G (x) = C_{0} + C_{1} x + C_{2} x^{2} + \dots$ 称为序列 $C_{0}, C_{1}, \dots$ 的母函数。

母函数是形式幂级数，计算时不考虑其是否收敛。

3.1 De Morgan 定理

集合 $A, B$ 为集合 $U$ 的子集，那么有 $\overset{―}{A \cup B} = \overset{―}{A} \cap \overset{―}{B}$ ， $\overset{―}{A \cap B} = \overset{―}{A} \cup \overset{―}{B}$ 。

多元形式类似。

3.2 容斥原理

式子略，可以用数学归纳法来证。

3.3 容斥原理

例 3-10

推导“错排问题”的通项公式。

设 $A_{i}$ 为第 $i$ 位仍在原位的全排列形成的集合。

容易发现 $| A_{1} | = | A_{2} | = \dots = | A_{n} | = (n - 1)!$ 。同时可得 $| A_{1} \cap A_{2} | = | A_{1} \cap A_{3} | = \dots = | A_{n - 1} \cap A_{n} | = (n - 2)!$ 。

$\begin{aligned} | \overset{―}{A_{1}} \cap \overset{―}{A_{2}} \cap \dots \cap \overset{―}{A_{n}} | & = n! - n (n - 1)! + (\binom{n}{2}) (n - 2)! - \dots + (- 1)^{n} 0! \\ = n! - n! + \frac{n!}{2!} - \frac{n!}{3!} + \dots \pm 0! \\ = n! (\frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \dots \pm \frac{1}{n!}) \end{aligned}$

错排问题还有生成函数解法。

作者：alan-zhao-2007

出处：https://www.cnblogs.com/alan-zhao-2007/p/comb-math.html

版权：本作品采用「署名-非商业性使用-相同方式共享 4.0 国际」许可协议进行许可。

posted @ 2021-05-13 19:25 Alan_Zhao_2007 阅读(234) 评论(0) 编辑收藏举报

刷新页面返回顶部

登录后才能查看或发表评论，立即登录或者逛逛博客园首页

Loading

Alan_Zhao's blog

《组合数学》学习笔记

1.2 一一对应

定理 1-1 (Cayley 定理)

1.4~1.6 排列组合的变种

圆周排列

可重组合

证明

不相邻的组合

证明

线性方程组的解数

可重组合的证明

隔板法的证明

1.7 组合意义

例 1-33

代数推导

组合意义

例 1-35

代数推导

组合意义

例 1-37

组合意义一

组合意义二

1.8 应用举例

例 1-44

2.2 母函数

定义 2-1

3.1 De Morgan 定理

3.2 容斥原理

3.3 容斥原理

例 3-10

公告

搜索

我的标签

随笔档案 (134)

阅读排行榜

最新评论