CF1609F Interesting Sections - 分治

题解

考虑分治。设当前要对区间 \([l,r]\) 进行计算，令 \(m=\lfloor \frac{l+r}{2}\rfloor\)，我们只需要计算左端点 \(\in [l,m]\)，右端点 \(\in [m+1,r]\) 的合法区间个数，然后递归到 \([l,m],[m+1,r]\) 计算即可。

我们从大到小枚举一个左端点 \(i\in [l,m]\)，对于一个固定的 \(i\)，在 \([m+1,r]\) 之间一定会存在两个分界点 \(p_1,p_2\) 使得：

• 若右端点 \(\in [m+1,p_1]\)，则区间的 \(\max\) 和 \(\min\) 都在 \([i,m]\) 间取到；
• 若右端点 \(\in [p_1+1,p_2]\)，则区间的 \(\max\) 或 \(\min\) 在 \([i,m]\) 间取到；
• 若右端点 \(\in [p_2+1,r]\)，则区间的 \(\max\) 和 \(\min\) 都在 \([m+1,\text{右端点}]\) 间取到；

并且，随着 \(i\) 逐渐减小，\(p_1,p_2\) 都递增。于是我们可以双指针维护 \(p_1,p_2\)，并分别考虑三种情况的贡献。第一种和第三种的贡献是显然的，对于第二种，只需要在 \(p_1,p_2\) 移动过程中，对于每个 \(k\) 维护 \(\operatorname{popcount}=k\) 的个数有多少。

这样总复杂度是 \(\mathcal{O}(n(\log n+\log V))\) 的，\(V\) 是 \(\max_i\{a_i\}\)。

代码

因为我用了 memset，所以代码实际上是 \(\mathcal{O}(n\log n\log V)\) 的，但 memset 的常数比较小，所以跑得挺快。

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
using namespace std;
#define For(Ti,Ta,Tb) for(int Ti=(Ta);Ti<=(Tb);++Ti)
#define Dec(Ti,Ta,Tb) for(int Ti=(Ta);Ti>=(Tb);--Ti)
#define Debug(...) fprintf(stderr,__VA_ARGS__)
#define popc __builtin_popcountll
#define Clear(a) memset(a,0,sizeof(a))
typedef long long ll;
const int N=1e6+5,LogV=65;
const ll Inf=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
int n,cnt1[LogV],cnt2[LogV],cnt3[LogV],cnt4[LogV],eq[N];ll a[N],ans;
void Solve(int l,int r){
	if(l>r) return;
	if(l==r){++ans;return;}
	int mid=(l+r)/2;
	Clear(cnt1),Clear(cnt2),Clear(cnt3),Clear(cnt4);
	eq[mid]=0;
	for(ll i=mid+1,mn=a[mid+1],mx=a[mid+1];i<=r;++i,mn=min(mn,a[i]),mx=max(mx,a[i]))
		eq[i]=eq[i-1]+(popc(mn)==popc(mx));
	ll mn=Inf,mx=-Inf,mn1=Inf,mx1=-Inf,mn2=Inf,mx2=-Inf;
	for(int i=mid,p1=mid,p2=mid;i>=l;--i){
		mn=min(mn,a[i]),mx=max(mx,a[i]);
		while(p1<r&&mn<=min(mn1,a[p1+1])&&mx>=max(mx1,a[p1+1]))
			++p1,mn1=min(mn1,a[p1]),mx1=max(mx1,a[p1]),++cnt1[popc(mn1)],++cnt2[popc(mx1)];
		while(p2<r&&(mn<=min(mn2,a[p2+1])||mx>=max(mx2,a[p2+1])))
			++p2,mn2=min(mn2,a[p2]),mx2=max(mx2,a[p2]),++cnt3[popc(mn2)],++cnt4[popc(mx2)];
		ans+=(popc(mn)==popc(mx))*(p1-mid)+eq[r]-eq[p2];
		if(mn<=mn2) ans+=cnt4[popc(mn)]-cnt2[popc(mn)];
		else ans+=cnt3[popc(mx)]-cnt1[popc(mx)];
	}
	Solve(l,mid),Solve(mid+1,r);
}
int main(){
	#ifndef zyz
	ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(nullptr);
	#endif
	cin>>n;
	For(i,1,n) cin>>a[i];
	Solve(1,n);
	cout<<ans;
	return 0;
}