ARC 116/119 与 CF Round 712 Div.2 比赛记录

ARC 116

赛时通过 \(\text{A,B,C}\)，排名 \(885\)，Performance \(1529\)。

A

找规律发现若：

• \(x\bmod 4=1\lor x\bmod 4=3\)：\(\text{Odd}\)；
• \(x\bmod 4=2\)：\(\text{Same}\)；
• \(x\bmod 4=0\)：\(\text{Even}\)。

B

将 \(A\) 排序，并整理成 \((a_i,b_i)\) 的形式，其中 \(b_i\) 表示 \(a_i\) 的出现次数。

枚举子集 \(B\) 的 \(\max\)，推一下式子即可。

C

可以发现，若约数链中不允许有相同的数，那么其长度最多为 \(\log_2m\) 。

设 \(f_{i,j}\) 为长度为 \(i\) 的约数链，最后一个数为 \(j\) 且不允许有相同数字的方案数。

这个可以 \(O(m \log^2 m)\) 计算。

枚举 \(i,j\)，然后考虑在约数链之间填上相同的数有多少种填法即可，这个可以用隔板法计算。

D

考虑那个 \(\operatorname{xor}\) 和为 \(0\) 的条件，其实是规定了每一位上都要有偶数个 \(1\)。

拆位计算，那么当我们确定了从低到高的第 \(i\) 位时，其实可以将它归约到一个相同的子问题：计算最高的 \((i+1)\) 位。

设 \(f_i\) 为 \(n\) 个和为 \(i\) 的数，且 \(\operatorname{xor}\) 和为 \(0\) 的方案数。

那么 \(f_i=\begin{cases}\sum\limits_j f_{(i-2j)\div 2} & i \bmod 2=0\\ 0 & i \bmod 2 =1\end{cases}\)

E

重题：P3523 [POI2011]DYN-Dynamite。

因为 POI 这题好像还难点，我就做这道题了。

阳间翻译可以看 https://loj.ac/p/2165。

看到这种“最大值最小”之类的先想到二分。二分答案 \(x\)，于是问题变成了“能否选 \(m\) 个点，使得关键点到这些点距离的最小值的最大值 \(\le x\)”。

考虑树形 dp，设 \(f_u\) 为以 \(u\) 为根的子树内，距离 \(u\) 最远的、未被覆盖的关键点，到 \(u\) 的距离，\(g_u\) 为以 \(u\) 为根的子树内，距离 \(u\) 最近的、被选中的点，到 \(u\) 的距离；变量 \(N\) 表示当前关键点个数。

一开始 \(f_u=\max\limits_{v\in son_u}\{f_v\}+1\)，\(g_u=\min\limits_{v\in son_u}\{g_v\}+1\)。

然后分三种情况特判：

• 若 \(f_u+g_u\le x\)：说明用 \(g_u\) 代表的点即可覆盖子树内所有关键点，\(f_u\gets -\inf\)；
• 若 \(f_u=x\)：点 \(u\) 必须选，\(f_u \gets -\inf,N\gets N+1\)。
• 若 \(g_u>x\land d_u\)：点 \(u\) 是关键点，但子树中没有能覆盖它的。于是我们令 \(f_u\gets \max(f_u,0)\)，表示把它丢给父亲处理。

对于根节点：如果 \(f_{\text{root}}\neq -\inf\)，那么 \(N\gets N+1\)。

为什么不用特判 \(f_u>x\) 的情况？因为这种情况不存在，\(f_u\) 最多会比 \(\max\{f_v\}\) 大 \(1\)，我们已经特判了 \(f_u=x\) 的情况，就不用再特判这个了。

CF #712 Div.2

赛时通过 \(\text{A,B,C}\)，排名 \(1761\)。

A

插入的字符 \(\text{a}\) 要不然插入在开头，要不然插入在末尾。

B

略。

C

被这个 C 卡了好久，看来要好好练练构造啊。

一个合法的括号串，其中一定包含恰好一半的左括号。

所以，若 \(s\) 中有奇数个 \(0\)，那么一定无法构造。

否则，我们计算出 \(s\) 中 \(1\) 的个数 \(c_1\)。对于前 \(\dfrac{c_1}{2}\) 个 \(1\) 的位置我们填左括号，对于后 \(\dfrac{c_1}{2}\) 个位置我们填右括号。

然后 \(s\) 中 \(0\) 的位置就瞎搞一下即可。

D

可以发现，如果一个元素旁边有三种不同的颜色，就挂了。

如果一个地方有两种相邻的不同颜色，而且该轮 \(\text{ban}\) 掉的是剩下的那种颜色，这个地方也填不了。

考虑怎样避免这两种情况：

• 将网格黑白染色，染成棋盘状。记三种颜色是 \(1,2,3\)，其中颜色 \(1\) 是黑色，颜色 \(2\) 是白色。
• 如果 \(\text{ban}\) 掉 \(1\)，就选没填的白色填一下。如果白色的位置都被填了，说明黑色的地方瞎填就行了，所以可以任选一个地方填 \(3\)。
• \(\text{ban}\) 掉 \(2\) 以此类推。
• \(\text{ban}\) 掉 \(3\) 瞎填即可。

E

https://www.luogu.com.cn/blog/alan-zhao/solution-cf1503c

ARC 119

赛时通过 \(\text{A,B,C}\)，排名 \(616\)，Performance \(1639\)。

A

枚举 \(b\)，计算相应的 \(a,c\) 再取最优解即可。

B

首先题目中描述的操作可以看作每个 \(0\) 都可以在它所在的极长 \(1\) 连续段中移动。

有一个关键性质：\(S\) 中的第 \(i\) 个 \(0\)，与 \(T\) 中的第 \(i\) 个 \(0\) 相对应。这是因为 \(S\) 中的两个零如果在交换过程中相互跨越了，那么一定不比不跨越优。

于是 \(S\) 中的每个 \(0\) 都可以通过至多 \(1\) 次交换达到目标。找到那些不需要操作的 \(0\) 即可。

C

可以发现若区间 \([l,r]\) 是合法的，那么一定有 \(A_l-A_{l+1}+A_{l+2}-\dots\pm A_{r}=0\)。

于是我们可以把所有 \(A_{2i}\gets -A_{2i}\)。

这样问题就转化为问 \(A\) 中有多少个区间满足和为 \(0\)。

随便做做。