2022-7-3 CF Virtual Contest

随机选了四道 2100~2400 的题，做出来了前三道。

A - CF1399E2

因为每次操作一定会有一个 \(w_i\) 减半，所以至多进行 \(n\log V\) 次操作。对于每个操作，我们都可以算出它的收益。因为操作的代价只可能是 \(1\) 或 \(2\)，将操作按照收益排序后，枚举选多少个代价为 \(2\) 的操作，然后双指针计算即可。

B - CF1284D

不需要管什么集合，我么要找的就是：

• 是否存在下标 \(i,j\) 使得 \(([l_i,r_i],[l_j,r_j]),([L_i,R_i],[L_j,R_j])\) 这两对区间恰有一对有交。

假如要找的是 \(l,r\) 无交而 \(L,R\) 有交的情况，那我们就是要找一对 \((i,j)\) 使得：

• \(r_i<l_j\)；
• \([L_i,L_j]\) 与 \([R_i,R_j]\) 有交。

对第一个限制扫描线，用树状数组做第二个限制即可。

另外一种情况是完全相同的，可以直接令 \((l_i,r_i,L_i,R_i)\gets (L_i,R_i,l_i,r_i)\) 然后再做一遍上述操作。

C - CF1156F

不要算概率，直接算满足条件的排列个数。

考虑赢的情况，显然是一个严格递增的序列 \(x_1,x_2,\dots,x_k\) 再拼上一个 \(x_k\)。设 \(f_{i,j}\) 为所有 \(\le i\) 的元素，形成长度为 \(j\) 的单调递增序列的方案数，这个可以直接 dp。

枚举 \(x_k\) 以及 \(k\)，设 \(x_k\) 这个值在 \(\{a_n\}\) 中的出现次数是 \(c\)，那么它对答案的贡献是：

\[c(c-1)f_{x_k-1,k-1}\times (n-k-1)!. \]

最后除以 \(n!\) 即可。

D - CF1146E

没想到对每个值维护变换后的结果。

考虑用一棵线段树维护每个值变换后的正负，当执行 > x 操作时，考虑答案会如何变化：

• 假如 \(x\ge 0\)：

  • 对于 \([x+1,+\infty)\) 和 \((-\infty,-x-1]\) 这两个区间，如果其中某个数原来就是负的，那现在还是负的。对于正的，变换后会变成负的，所以区间覆盖即可；
  • 对于 \([-x,x]\) 这个区间，无论如何都不会影响到。

• 假如 \(x<0\)：

  • 对于 \([-x,+\infty)\) 和 \((-\infty,x]\)，还是上面的情况；
  • 对于 \([x+1,-x-1]\)，区间取反即可。

< x 是一样的，所以可以 \(O(n+q\log n)\) 解决这题。