AtCoder Grand Contest 001

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A - BBQ Easy

从小到大排序以后，答案就是所有奇数位置之和。

B - Mysterious Light

发现去掉前两次反射以后，剩下的是一个在平行四边形内反射的过程，且形式类似于辗转相除。具体地，

$$F(n,x)=\{\begin{array}{ll}-n& x=0\\ 2x\lfloor \frac{n}{x}\rfloor +F(x,nmodx)& x>0\end{array}$$

最后的答案就是 $F(n-x,x)+n$。

C - Shorten Diameter

直接 DP，设 $f_{i,j}$ 表示考虑 $i$ 子树内的一个以 $i$ 为根的连通块，最大深度不超过 $j$，且直径不超过 $K$，的最大点数。合并子树信息是简单的。

D - Arrays and Palindrome

这个题就比较智慧了。

首先，一段长为 $L$ 的回文串能够贡献 $\lfloor \frac{L}{2}\rfloor$ 对相等关系。由于相等关系至少需要有 $n-1$ 对，所以给定的 $A$ 数组中至多有两个奇数，否则无解。

将这两个奇数放到开头和结尾，并构造 $B:=[A_1-1,A_2,\dots ,A_{M-1},A_M+1]$。注意特判 $M=1$ 和 $A_1=1$ 的情况。

E - BBQ Hard

现在已经成为套路了。

答案就是

$$\sum _{1\le i<j\le N}(\genfrac{}{}{0ex}{}{A_i+A_j+B_i+B_j}{A_i+A_j}).$$

假如固定 $i,j$，那么这个组合数可以描述为从 $(-A_i,-B_i)$ 走到 $(A_j,B_j)$，每次只能向上或向右走的方案数。

由于值域很小，所以可以统一进行一次 DP。时间复杂度 $O(N+V^2)$。

F - Wide Swap

考虑 $P$ 的逆排列 $Q=P^{-1}$，在 $Q$ 上，操作可以描述为每次交换相邻的两个差 $\ge K$ 的元素。

考虑一对 $i,j$ 满足 $i<j$ 且 $|Q_i-Q_j|<K$，那么 $Q_i$ 在任意时刻都一定在 $Q_j$ 前面。并且只要对于任意 $i,j$ 均满足这个条件，这样的 $Q$ 就是能得到的。

根据这个条件可以建出一张 DAG，我们需要最小化这个 DAG 的一个拓扑序 $p$ 的逆 $p^{-1}$。根据一个结论：

在一张 DAG 上，一个字典序最大的拓扑序 $p$，其逆 $p^{-1}$ 也是字典序最大的。

所以只需要在反图上求最大拓扑序 $p$，然后 $\mathrm{reverse}(p^{-1})$ 就是答案。

唯一的问题就是这张图有 $O(N^2)$ 条边。但这也是容易的：考虑从 $Q_i$ 连出去的边，也就是所有的 $j<i$ 满足 $Q_j\in (Q_i-k,Q_i+k)$。只需要向其中 $Q_j<Q_i$ 的最大 $j$，以及 $Q_j>Q_i$ 的最大 $j$ 连边即可。

时间复杂度 $O(N\log N)$。