AtCoder Regular Contest 169

A - Please Sign

某个 $A_i$ 对 $A_1$ 的贡献是 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{{10}^{100}}{{\mathrm{dep}}_i})$，所以深度为 $d$ 的节点的 $A_i$ 之和只要不为 $0$，其贡献就一定远大于深度 $<d$ 的所有点的贡献之和。

从大到小找到第一个和非零的深度即可。

B - Subsegments with Small Sums

直接考虑以每个位置为开头的段在答案中出现了多少次即可。

C - Not So Consecutive

直接 DP，设 $f_{i,j}$ 表示当前考虑了前 $i$ 个位置，且第 $i$ 个位置填的数是 $j$ 的方案数。转移是

$$f_{i,j}=\sum _{max({\mathrm{last}}_j,i-j)\le k<i}\sum _{l\ne j}{f}_{k,l}.$$

其中 ${\mathrm{last}}_j$ 表示最大的 $k$ 使得 $k\le i\wedge A_k\ne -1\wedge A_k\ne j$。

前缀和优化一下，可以做到 $O(N^2)$。

D - Add to Make a Permutation

首先，假设我们不进行取模操作，设最后得到的数列是 $B_1,B_2,\dots ,B_N$，那么只需要 $B_{i}modN$ 互不相同，即可满足条件。

考虑什么样的 $B$ 是可以得到的。设 $S=\sum _{1\le i\le N}(B_i-A_i)$，需要：

• $B_i\ge A_i$；
• $M\mid S$；
• $B_i-A_i\le \frac{S}{M}$。

（赛时我漏了第三个条件，而且用的是另外一种做法，没法处理这个条件。）

然后发现最优的 $B$ 序列有一些性质：

性质 1：假如 $A$ 是递增的，那么最优的 $B$ 是不降的。

证明：交换一对逆序的 $B_i$ 不会使 $S$ 改变，且会使得 $max(B_i-A_i)$ 变小。

性质 2：假如 $A$ 是递增的，那么最优的 $B$ 形如 $[x,x+1,\dots ,x+N-1]$。

证明：由于 $B$ 是递增的且 $B_{i}modN$ 互不相同，所以只要 $B$ 不是这样的，就一定存在 $i,j$ 使得 $B_j>B_i+N$。此时令 $(B_i,B_j)\leftarrow (B_i+N,B_j-N)$，再将 $B$ 数组排序，得到的 $B$ 一定更优。

于是我们只需要找到最小的 $x$，使得其对应的 $B$ 序列是可以得到的。上面的第 $1,3$ 条限制对应了 $x$ 需要大于等于某个数；第二条对应了 $x\equiv k(\mathrm{mod}\frac{M}{gcd(N,M)})$，其中 $k$ 是某个数。

E - Avoid Boring Matches

怎么想到的？？？

首先考虑判定一个串 $S$ 是不是 boring 的。

如果 $S$ 中 $\mathtt{\text{R}}$ 的个数大于一半，就一定是 boring 的。

• 假如 $S_1=\mathtt{\text{R}}$，那么它和最后一个 $\mathtt{\text{B}}$ 配对一定是最优的；
• 否则，它和它后面的第一个 $\mathtt{\text{R}}$ 配对是最优的。

这样就可以将长为 $2^N$ 的串以最优的方式缩成长为 $2^{N-1}$ 的串。

考虑所有长为 $2^N$ 且不 boring 的串中，字典序最大的一个，设为 $T$。$T$ 可以通过反向模拟上面的贪心过程得到。有结论：

对于串 $S$，设 $f_S(i)$ 表示将 $S$ 中的 $\mathtt{\text{R}}$ 看作 $-1$，$\mathtt{\text{B}}$ 看作 $1$，$i$ 位置的前缀和。

$S$ 不是 boring 的，当且仅当对于每个 $i$，都有 $f_S(i)\ge f_T(i)$。

回到原问题，算出每个 $f_S(i)$，交换相邻的 $\mathtt{\text{R}},\mathtt{\text{B}}$ 对 $f$ 的影响就是将 $\mathtt{\text{R}}$ 所在的位置 $+2$。并且，只要存在至少一个位置使得 $f_S(i)<f_T(i)$，就一定可以将某个这样的位置 $+2$。

所以答案就是

$$\sum _{1\le i\le 2^N}max(0,\frac{f_T(i)-f_S(i)}{2}).$$

F - Large DP Table

关键结论：

考虑两个点 $(a,b),(c,d)$ 满足 $c\ge a,d\ge b$。将 $(c,d)$ 走到 $(1,1)$ 的那条路径画出来，路径会穿过 $Y=b$ 这条线（也就是说，$X_a,X_{a+1},\dots ,X_N$ 中有某一个造成了一次贡献），当且仅当 $\underset{a\le i\le c}{min}{A}_i<\underset{b\le i\le d}{min}{B}_i$。否则，路径会穿过 $X=a$ 这条线。

然后用单调栈随便做做即可。时间复杂度 $O(N)$。