[SDOI2016]排列计数

题目描述

求有多少种长度为 n 的序列 A，满足以下条件：

1 ~ n 这 n 个数在序列中各出现了一次

若第 i 个数 A[i] 的值为 i，则称 i 是稳定的。序列恰好有 m 个数是稳定的

满足条件的序列可能很多，序列数对\(10^9+7\)取模。

输入格式

第一行一个数 T，表示有 T 组数据。

接下来 T 行，每行两个整数 n、m。

输出格式

输出 T 行，每行一个数，表示求出的序列数

测试点 1 ~ 3： T = 1000，n≤8，m≤8；

测试点 4 ~ 6： T = 1000，n≤12，m≤12；

测试点 7 ~ 9： T = 1000，n≤100，m≤100；

测试点 10 ~ 12： T = 1000，n≤1000，m≤1000；

测试点 13 ~ 14： T = 500000，n≤1000，m≤1000；

测试点 15 ~ 20： T = 500000，n≤1000000，m≤1000000。

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在n个数中选m个，使得m个数中\({\forall}a[i]=i\)的方案数可以表示为\(C_{n}^{m}\)。而剩下的n-m个数必须满足\({\forall}a[i]{\neq}i\)，那么这个方案数可以表示为\(D_{n-m}\)，即错排数。那么答案就是：

\[C_{n}^{m}*D_{n-m}={\frac{n!}{m!(n-m)!}}*D_{n-m} \]

其中的错排数可以通过递推公式计算：\(D_i=(D_{i-1}+D_{i-2})*(i-1)\)。不过注意到题目要求我们取模，而分母位置有阶乘，所以我们还需要计算阶乘的逆元：

\[x!^{-1}=(\prod_{i=1}^{x}i)^{-1}=\prod_{i=1}^{x}i^{-1} \]

因此可以线性计算。

时间复杂度为\(O(N+T)\)

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#define maxn 1000010
#define mod 1000000007
using namespace std;

inline int read(){
	register int x(0),f(1); register char c(getchar());
	while(c<'0'||'9'<c){ if(c=='-') f=-1; c=getchar(); }
	while('0'<=c&&c<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
	return x*f;
}

long long inv[maxn],mul[maxn],mul_inv[maxn],d[maxn];
int T,n,m;

inline void prework(){
	int n=1000000;
	mul[0]=mul_inv[0]=1ll;
	inv[1]=1ll,mul[1]=1ll,mul_inv[1]=1ll;
	for(register int i=2;i<=n;i++){
		mul[i]=1ll*mul[i-1]*i%mod;
		inv[i]=1ll*(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
		mul_inv[i]=1ll*mul_inv[i-1]*inv[i]%mod;
	}
	
	d[0]=1ll,d[1]=0ll,d[2]=1ll;
	for(register int i=3;i<=n;i++){
		d[i]=1ll*(i-1)*((0ll+d[i-1]+d[i-2])%mod)%mod;
	}
}

int main(){
	prework();
	T=read();
	while(T--){
		n=read(),m=read();
		printf("%lld\n",((1ll*mul_inv[n-m]*mul_inv[m])%mod*mul[n])%mod*d[n-m]%mod);
	}
	return 0;
}