luogu P1063 能量项链

题目描述

在 Mars 星球上，每个 Mars 人都随身佩带着一串能量项链。在项链上有 N 颗能量珠。能量珠是一颗有头标记与尾标记的珠子，这些标记对应着某个正整数。并且，对于相邻的两颗珠子，前一颗珠子的尾标记一定等于后一颗珠子的头标记。因为只有这样，通过吸盘（吸盘是 Mars 人吸收能量的一种器官）的作用，这两颗珠子才能聚合成一颗珠子，同时释放出可以被吸盘吸收的能量。如果前一颗能量珠的头标记为 m，尾标记为 r，后一颗能量珠的头标记为 r，尾标记为 n，则聚合后释放的能量为 m× r × n（Mars 单位），新产生的珠子的头标记为 m，尾标记为 n。

需要时，Mars 人就用吸盘夹住相邻的两颗珠子，通过聚合得到能量，直到项链上只剩下一颗珠子为止。显然，不同的聚合顺序得到的总能量是不同的，请你设计一个聚合顺序，使一串项链释放出的总能量最大。

例如：设 N=4，4 颗珠子的头标记与尾标记依次为(2，3) (3，5) (5，10) (10，2)。我们用记号⊕表示两颗珠子的聚合操作，(j⊕k)表示第 j，k 两颗珠子聚合后所释放的能量。则第 4、1 两颗珠子聚合后释放的能量为：

(4⊕1)=1023=60。

这一串项链可以得到最优值的一个聚合顺序所释放的总能量为

((4⊕1)⊕2)⊕3）=10 * 2 * 3+10 * 3 * 5+10 * 5 * 10=710。

输入格式

输入第一行是一个正整数 N（4≤N≤100），表示项链上珠子的个数。

第二行是 N 个用空格隔开的正整数，所有的数均不超过 1000。第 i 个数为第 i 颗珠子的头标记（1≤i≤N），当 i<N 时，第 i 颗珠子的尾标记应该等于第 i+1 颗珠子的头标记。第 N颗珠子的尾标记应该等于第 1 颗珠子的头标记。

至于珠子的顺序，你可以这样确定：将项链放到桌面上，不要出现交叉，随意指定第一颗珠子，然后按顺时针方向确定其他珠子的顺序。

输出格式

输出文件energy.out只有一行，是一个正整数E（E≤2.1 * 10^9），为一个最优聚合顺序所释放的总能量。

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每聚合两颗珠子就相当于把左边和右边加起来，不难想到用区间dp来解决。

设dp(l,r)为区间l~r得到的最大能量，然后枚举中间值k，可以列出状态转移方程：

\[dp[l][r]=Max{\{} dp[l][k]+dp[k][r]+val[l]*val[k]*val[r] {\}} \]

为了避免边界的取模操作，我们可以任意位置断开环，并复制一份到后面去，然后区间dp算出每个长度为n的最优解，答案就是：Max(dp(i,i+n))。

时间复杂度为O(N^3)。

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#define maxn 101
using namespace std;

long long dp[maxn<<1][maxn<<1],ans;
int n,val[maxn<<1];

inline int read(){
    register int x(0),f(1); register char c(getchar());
    while(c<'0'||'9'<c){ if(c=='-') f=-1; c=getchar(); }
    while('0'<=c&&c<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
    return x*f;
}

int main(){
    n=read();
    for(register int i=1;i<=n;i++) val[i]=val[i+n]=read();
    
    for(register int len=2;len<=n+1;len++){
        for(register int l=1,r=len;r<=(n<<1);l++,r++){
            for(register int k=l+1;k<r;k++){
                dp[l][r]=max(dp[l][r],dp[l][k]+dp[k][r]+val[l]*val[k]*val[r]);
            }
        }
    }
    for(register int i=1;i<=n;i++) ans=max(ans,dp[i][i+n]);
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}