[JLOI2011]飞行路线

题目描述

Alice 和Bob现在要乘飞机旅行，他们选择了一家相对便宜的航空公司。该航空公司一共在n个城市设有业务，设这些城市分别标记为0到n-1，一共有m种航线，每 种航线连接两个城市，并且航线有一定的价格。Alice和Bob现在要从一个城市沿着航线到达另一个城市，途中可以进行转机。航空公司对他们这次旅行也推 出优惠，他们可以免费在最多k种航线上搭乘飞机。那么Alice和Bob这次出行最少花费多少？

输入格式

数据的第一行有三个整数，n,m,k，分别表示城市数，航线数和免费乘坐次数。

第二行有两个整数，s,t，分别表示他们出行的起点城市编号和终点城市编号。(0<=s,t<n)

接下来有m行，每行三个整数，a,b,c，表示存在一种航线，能从城市a到达城市b，或从城市b到达城市a，价格为c。(0<=a,b<n,a与b不相等，0<=c<=1000)

2<=n<=10000,1<=m<=50000,0<=k<=10.

输出格式

只有一行，包含一个整数，为最少花费。

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首先明确一个概念，最短路实际上是一种动态规划。因为v的最短路由v之前的点u的最短路加上它们之间的边长更新而来。

而这题就好像给动态规划加了一层状态：免费乘坐次数。

解法1：我们可以直接沿袭动规的做法，直接给状态加一维：dis(i,j)表示免费乘坐了j次航线之后，i的最短路长度。设i的前驱节点集合为pre(u)，那么：

\[dis[i][j]=Min_{k{\in}pre(i)}{\{}Min(dis[k][j]+edge(k,i),dis[k][j-1]){\}} \]

解法2：分层图最短路。把原图建成k层，每层都等于原图。若原图中有edge(u,v)，那么建图时把每一层的u都向下一层的v连一条有向边，长度为0。最后答案是所有层终点的最短路的最小值。

两个解法的时间复杂度都为：O((N+M)log(K*(N+M)))。给出分层图最短路的代码：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<queue>
#define maxn 10001
#define maxm 50001
#define maxk 11
using namespace std;
 
struct edge{
    int to,dis,next;
    edge(){}
    edge(const int &_to,const int &_dis,const int &_next){ to=_to,dis=_dis,next=_next; }
}e[maxm*maxk*4];
int head[maxn*maxk],k;
 
int dis[maxn*maxk];
bool vis[maxn*maxk];
int n,m,q,s,t;
 
inline int read(){
    register int x(0),f(1); register char c(getchar());
    while(c<'0'||'9'<c){ if(c=='-') f=-1; c=getchar(); }
    while('0'<=c&&c<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
    return x*f;
}
inline void add(const int &u,const int &v,const int &w){ e[k]=edge(v,w,head[u]),head[u]=k++; }
 
inline void dijkstra(){
    priority_queue< pair<int,int>,vector< pair<int,int> >,greater< pair<int,int> > > q;
    memset(dis,0x3f,sizeof dis),dis[s]=0;
    q.push(make_pair(0,s));
    while(q.size()){
        int u=q.top().second; q.pop();
        if(vis[u]) continue; vis[u]=true;
        for(register int i=head[u];~i;i=e[i].next){
            int v=e[i].to;
            if(dis[v]>dis[u]+e[i].dis) dis[v]=dis[u]+e[i].dis,q.push(make_pair(dis[v],v));
        }
    }
}
 
int main(){
    memset(head,-1,sizeof head);
    n=read(),m=read(),q=read(),s=read()+1,t=read()+1;
    for(register int i=1;i<=m;i++){
        int u=read()+1,v=read()+1,w=read();
        for(register int j=0;j<=q;j++) add(u+n*j,v+n*j,w),add(v+n*j,u+n*j,w);
        for(register int j=1;j<=q;j++) add(u+n*(j-1),v+n*j,0),add(v+n*(j-1),u+n*j,0);
    }
    dijkstra();
 
    int ans=0x3f3f3f3f;
    for(register int i=0;i<=q;i++) ans=min(ans,dis[t+n*i]);
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}