[SCOI2005]骑士精神

题目描述

在一个5×5的棋盘上有12个白色的骑士和12个黑色的骑士， 且有一个空位。在任何时候一个骑士都能按照骑士的走法（它可以走到和它横坐标相差为1，纵坐标相差为2或者横坐标相差为2，纵坐标相差为1的格子）移动到空位上。 给定一个初始的棋盘，怎样才能经过移动变成如下目标棋盘： 为了体现出骑士精神，他们必须以最少的步数完成任务。

输入格式

第一行有一个正整数T(T<=10)，表示一共有N组数据。接下来有T个5×5的矩阵，0表示白色骑士，1表示黑色骑士，*表示空位。两组数据之间没有空行。

输出格式

对于每组数据都输出一行。如果能在15步以内（包括15步）到达目标状态，则输出步数，否则输出－1。

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不难想到搜索可以做这题。由于骑士只能往空格走，与其枚举每个骑士可以走的方向不如直接搜索空格往哪走。我们尝试用深搜做这题。

很容易想出状态：当前的棋盘，空格的位置，走的步数。棋盘可以开个全局变量来存。每次空格可以往8个方向走，只需往8个方向分别拓展即可。

考虑剪枝：

1.上下界剪枝：

上界：题目给的是15次。

下界：最好的情况莫过于跳

\[\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}[g[i][j]≠des[i][j]] \]

次了。虽然这对剪枝没什么用

2.搜索顺序：由于每个格子可以重复走，所以顺序随意。

3.排除等效冗余：往前走了之后又往回走是没有意义的，所以我们应该避免走上一次走的方向的反方向。

4.最优化剪枝：如果当前搜到的答案为ans，那么当步数≥ans时就没必要往下搜了，回溯。

5.记忆化：没什么好记的，而且记了容易MLE。跳过。

有了这么多剪枝，你的搜索已经很快了，但仍然不尽人意。由于本题的答案很小，我们考虑进一步优化。

把DFS加上迭代加深。从1开始枚举搜索深度，当搜索到答案时必定是最优解，所以最优化剪枝就没必要做了。如果搜到了上界15，那么就是无解。于是我们的上下界剪枝也没有必要做了。

然而IDFS仍然不够快，因为这题的答案也并不像某些ans≤5那么小，当我们的深度枚举到ans时，我们面对的搜索树其实是非常大的，然而剪枝已经减不掉了。

根据IDFS的性质，像广搜一样，当第一次搜到答案时就是最优解，直接回溯。那我们管它多大的搜索树，我们只让程序快点搜出答案，即优先往答案所在的方向走即可。这就要用到启发式搜索IDA * 了。

设计估价函数。由于估价函数必须小于等于实际值，我们可以结合之前的下界来设计。也就是说，估价函数就是当前状态与目标状态不同的格子数：

\[f(g[][])=\sum_{i=1}^{5}\sum_{j=1}^{5}[g[i][j]≠des[i][j]] \]

当当前深度加上预估值大于了搜索深度时就可以不往下搜了。

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#define maxn 6
using namespace std;

const int dir[8][2]={{1,2},{2,1},{2,-1},{1,-2},{-1,2},{-2,1},{-2,-1},{-1,-2}};
const int des[maxn][maxn]={{},{0,1,1,1,1,1},{0,0,1,1,1,1},{0,0,0,2,1,1},{0,0,0,0,0,1},{0,0,0,0,0,0}};
int g[maxn][maxn],ans;

inline int evaluate(){
    int cnt=0;
    for(register int i=1;i<=5;i++) for(register int j=1;j<=5;j++) if(g[i][j]!=des[i][j]) cnt++;
    return cnt;
}
inline bool check(const int &x,const int &y){ return x<1||5<x||y<1||5<y; }
void IDAstar(int x,int y,int dep,int pre_dir,const int &lim){
    if(dep==lim){ if(!evaluate()) ans=true; return; }
    for(register int i=0;i<8;i++) if(i+pre_dir!=7){
        int tx=x+dir[i][0],ty=y+dir[i][1];
        if(!check(tx,ty)){
            swap(g[x][y],g[tx][ty]);
            if(evaluate()+dep<=lim) IDAstar(tx,ty,dep+1,i,lim);
            swap(g[x][y],g[tx][ty]);
            if(ans) return;
        }
    }
}

int main(){
    int t,sx,sy; scanf("%d",&t);
    while(t--){
        for(register int i=1;i<=5;i++){
            for(register int j=1;j<=5;j++){
                char in; cin>>in;
                if(in=='*') g[i][j]=2,sx=i,sy=j;
                else g[i][j]=in-'0';
            }
        }

        if(!evaluate()){ puts("0"); continue; }
        ans=false;
        for(register int maxdep=1;maxdep<=15;maxdep++){
            IDAstar(sx,sy,0,-1,maxdep);
            if(ans){ printf("%d\n",maxdep); goto Lzs; }
        }
        puts("-1");
        Lzs:;
    }
    return 0;
}