广义坐标

广义坐标是不特定的坐标。假若，我们用一组广义坐标来导引方程，所得到的答案，可以应用于较广泛的问题；并且，当我们最后终于设定这坐标时，答案仍旧是正确的。拉格朗日力学，哈密顿力学都需要用到广义坐标来表示基要概念与方程。

独立的广义坐标

当分析有的问题时（尤其是当有许多约束条件的时候），最好尽量选择独立的广义坐标。因为，这样可以减少代表约束的变数。但是，当遇到非完整约束时，或者当计算约束力时，就必须使用关于这约束力的，相依的广义坐标。

在三维空间里，假设一个物理系统拥有n颗粒子；那么，这系统的自由度是3n。再假设这系统有h个完整约束；那么，这系统的自由度变为m=3n-h。必须用m个独立广义坐标\((q_1,q_2,...,q_m)\)与时间t来完全描述这系统的运动。坐标的转换方程可以表示如下：

\[r_i=r_i(q_1,q_2,...,q_m,t) [i=1,2,3,...,n] \]

实例

一个复摆，被约束地移动于一垂直平面，可以用四个直角坐标$\{x_{1},y_{1},x_{2},y_{2}\}$描述。但是，这系统的自由度是2；我们可以用两个广义坐标来更精简地描述这双摆运动： $$\{q_1,q_2\}=\{\theta_1,\theta_2 \};$$ 这里， $$ \{ x_1,y_1\}=\{l_1 sin(\theta_1),l_1cos(\theta_1)\}\\ \{x_2,y_2\}=\{l_1+sin(\theta_1)+l_2sin(\theta_2),l_1+cos(\theta_1)+l_2cos(\theta_2)\} $$ 一粒珠子，被约束地移动在一条穿过它的铁丝上，自由度是1。它的运动可以用一个广义坐标来描述 $$q_1=s;$$ 这里s是珠子离铁丝上一个参考点的径长。这三维空间运动已被减缩为一维空间运动了。

一个物体，被约束在一个表面上，自由度是2；虽然它的运动也是嵌在三维空间里。如果这表面是球表面，一个很好的选择是

\[\{q_1,q_2\}=\{\theta,\phi\} \]

这里，\(\theta\)与\(\phi\)是球坐标系的角坐标。因为r坐标是常数，可以被忽略掉。

参考资料

• Wikipedia-EN:Generalized coordinates

• Wikipedia-Zh_cn:广义坐标