Isomorphism Freak [AGC024D]

https://atcoder.jp/contests/agc024/tasks/agc024_d

题解

考虑分别以两个点 $u,v$ 为根时，如果两棵有根树的最大深度不同，那么它们一定不同构，所以若原树直径上有 $D$ 个点，那么答案的下界是 $\lceil \dfrac{D}{2} \rceil$ 。

如果确定了一个点(或一条边)为根，如何加点可以使得同一深度的点可以染相同的颜色？画图分析一下，发现如果选定一个点为根，那么必须满足新树关于根中心对称；如果选一条边为根，那么新树必须关于这条边左右对称。换句话说，必须满足：相同深度的两个点的儿子数也相同。

所以如果选定了根，树的最大深度为 $K$ ，深度为 $i$ 的点中儿子个数最多的有 $m_i$ 个儿子，那么此时最小叶子总数就是 $\prod\limits_{i=1}^{K-1} m_i$ 。

为了使得颜色数尽可能少，当原树直径上有偶数个点时，选择直径中间的那条边作根最优；有奇数个点时，既可以选择直径的中心点作根，也可以选择与中心点相邻的边作根，分别计算最小叶子数即可。

代码

ps: 我因为懒得找直径就直接对于所有点和边作根的情况全部算了一遍(狗头)

#include <bits/stdc++.h>
#define N 105
#define pb push_back
using namespace std;
typedef long long ll;

int n, u[N], v[N], mx[N];
vector<int> E[N];

int dfs(int x, int fa, int dep) {
	int son = 0, ret = dep;
	for (auto y : E[x]) if (y != fa) {
		++son; 
		ret = max(ret, dfs(y,x,dep+1));
	}
	mx[dep] = max(mx[dep], son);
	return ret;
}

int main() {
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 1; i < n; i++) {
		scanf("%d %d", &u[i], &v[i]);
		E[u[i]].pb(v[i]); E[v[i]].pb(u[i]);
	}
	int a1 = 0x3f3f3f3f; ll a2 = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		memset(mx, 0, sizeof(mx)); 
		int D1 = dfs(i, 0, 1); ll D2 = 1;
		for (int i = 1; i < D1; i++) D2 *= mx[i];
		if (D1 < a1 || (D1 == a1 && D2 < a2)) a1 = D1, a2 = D2;
	}
	for (int i = 1; i < n; i++) {
		memset(mx, 0, sizeof(mx)); 
		int D1 = max(dfs(u[i],v[i],1),dfs(v[i],u[i],1)); ll D2 = 2;
		for (int i = 1; i < D1; i++) D2 *= mx[i];
		if (D1 < a1 || (D1 == a1 && D2 < a2)) a1 = D1, a2 = D2;
	}
	printf("%d %lld\n", a1, a2);
	return 0;
}