Earthquake[USACO01OPEN]

题目描述

一场地震把约翰家的牧场摧毁了， 坚强的约翰决心重建家园。 约翰已经重建了 \(n\) 个牧场，现在他希望能修建一些道路把它们连接起来。研究地形之后，约翰发现可供修建的道路有 \(m\) 条。碰巧的是，奶牛们最近也成立一个工程队，专门从事修复道路。而然，奶牛们很有经济头脑，如果无利可图，它们是不会干的。

奶牛们关注的是挣钱速度，即总利润和总施工时间的比值。约翰和奶牛达成了协议，奶牛负责修建道路，将所有牧场连通，而约翰需要支付 \(f\) 元。每条道路都有自己的施工时间和建造成本。连接两个相同的牧场的道路可能有多条。保证所有的牧场必定是可连通的，不过也有可能一些道路的建造成本之和会超过 \(f\)。

请帮助奶牛们选择修复哪些道路，才能使单位时间的利润最大？

输入格式

第一行三个整数 \(n,m,f\)。

第二行到第 \(m+1\) 行，第 \(i+1\) 行表示第 \(i\) 条道路的信息。每行有四个整数 \(u_i,v_i,c_i,t_i\)， \(u_i\) 和 \(v_i\) 表示这条道路连接的牧场编号，\(c_i\) 表示修建道路的成本，\(t_i\) 表示道路修建所需要的时间。

输出格式

第一行，一个保留四位小数的浮点数，表示奶牛们能挣到的最大单位时间利润，如果奶牛们无钱可赚，则输出 0.0000。

题解

我们想要求出 \(\dfrac{f-\sum c_ix_i}{\sum t_ix_i}\) 的最大值，其中 \(x_i=0\) 或 \(1\) 表示第 \(i\) 条路修或者不修

不妨设最大值为 \(P\)，则有 \(\dfrac{f-\sum c_ix_i}{\sum t_ix_i} \le P\)

变形一下得 \(\sum x_i(P*t_i+c_i) \ge f\)

二分答案 \(mid\) 放到不等式中代替 \(P\)，如果 \(mid < P\)，那么不等式左边就会偏小，我们需要找到有没有一种分配 \(x_i\) 的情况使得这个不等式不成立，即 \(\sum x_i(Pt_i+c_i) < f\)

如果能找到这样的解，则表示 \(mid < P\)，否则 \(mid \ge P\)

由于我们想让左式尽可能小，所以把每条边的边权重新设为 \(mid*t_i+c_i\)，然后再跑最小生成树求出左式的最小值

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

template<typename T>
inline void read(T &num) {
	T x = 0, f = 1; char ch = getchar();
	for (; ch > '9' || ch < '0'; ch = getchar()) if (ch == '-') f = -1;
	for (; ch <= '9' && ch >= '0'; ch = getchar()) x = (x << 3) + (x << 1) + (ch ^ '0');
	num = x * f;
}

int n, m, F;

struct edge{
	int u, v, c, t;
	double val;
	bool operator < (const edge b) const {
		return val < b.val;
	}
} e[10005];

int fa[405];
int find(int x) {
	return fa[x] == x ? x : fa[x] = find(fa[x]);
}
bool check(double k) {
	for (int i = 1; i <= n; i++) fa[i] = i;
	for (int i = 1; i <= m; i++) {
		e[i].val = e[i].c * 1.0 + k * e[i].t;
	}
	sort(e + 1, e + m + 1);
	double ret = 0;
	for (int i = 1; i <= m; i++) {
		int tx = find(e[i].u), ty = find(e[i].v);
		if (tx != ty) {
			ret += e[i].val;
			fa[ty] = tx;
		}
	}
	return ret < F;
}

int main() {
	read(n); read(m); read(F);
	for (int i = 1; i <= m; i++) {
		read(e[i].u); read(e[i].v); read(e[i].c); read(e[i].t);
	}
	double l = 0, r = 2e9, mid = 0;
	while (r - l > 1e-7) {
		mid = (l + r) / 2;
		if (check(mid)) {
			l = mid + 0.000001;
		} else r = mid - 0.000001;
	}
	printf("%.4lf\n", l);
	return 0;
}