字符串[BZOJ3277]

对于字符串\(x\)和\(y\)，假设字符串\(y\)在字符串\(x\)中若干的匹配位置，我们用\((l_i,r_i)\)来表示。二元组代表\(x\)中\(x_{l_i}\sim x_{r_i}\)的字符串和\(y_1\sim y_{len(y)}\) 完全一致。这些二元组根据第一关键字从小到大排序后形成一个序列，定义一个函数\(F(x,y)\)的值为该序列的非空连续序列的数量。以\(F(babbabbababbab, babb) = 6\)为例子，匹配的二元组序列为：
\((1, 4), (4, 7), (9, 12)\)

非空连续序列为
\((1, 4)\)
\((4, 7)\)
\((9, 12)\)
\((1, 4), (4, 7)\)
\((4, 7), (9, 12)\)
\((1, 4), (4, 7), (9, 12)\)

现在给你一个字符串\(s\)，请求出\(F(s,x)\)的和，其中\(x\)为\(s\)的全部子串。

【输入格式】
输入一个字符串\(s\)。

【输出格式】
输出题目要求的\(F\)值。

题解

比[模板](https://www.luogu.com.cn/problem/P3804)更模板

建好后缀自动机 我们把代表原串前缀的那几个节点称作关键节点(即建自动机的时候每次添加一个新字符得到的那个新节点)

那么对于一个子串\(t\)，我们把\(t\)在后缀自动机中所在的节点称作\(x\)，在parent树中，\(x\)为根的子树中的 关键节点的数量 就是\(t\)在原串中出现的次数 把它记为\(cnt[x]\)

这个从每个关键节点开始暴力向上跳father 沿路数量++ 就能统计出来

然后这个“非空连续序列数量”其实就是\(\frac{a(a+1)}{2}\)

然后自动机中每个节点\(x\)含有的原串的子串数量就是\(len[x]-len[fa[x]]\)

那每个节点的答案就是\(cnt[x]*(cnt[x]+1)/2*(len[x]-len[fa[x]])\) 把所有节点的答案加起来就可以了

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

ll n, key[100005];
char s[100005];
ll ans;

struct SAM{
	struct node{
		ll nxt[30], link, len, cnt;
	} tr[2000010]; 
	ll tot, lst;
	
	inline void init() {
		tot = lst = 0;
		tr[0].link = -1; tr[0].len = 0;
	}
	
	inline void build(char *str, ll len) {
		init();
		for (ll i = 1; i <= len; i++) {
			ll ind = ++tot, c = str[i] - 'a';
			tr[ind].len = tr[lst].len + 1;
			ll p = lst;
			while (p != -1 && !tr[p].nxt[c]) {
				tr[p].nxt[c] = ind;
				p = tr[p].link;
			}
			if (p == -1) {
				tr[ind].link = 0;
			} else {
				ll q = tr[p].nxt[c];
				if (tr[p].len + 1 == tr[q].len) {
					tr[ind].link = q;
				} else {
					ll clone = ++tot;
					tr[clone].len = tr[p].len + 1;
					tr[clone].link = tr[q].link;
					for (ll j = 0; j < 26; j++) tr[clone].nxt[j] = tr[q].nxt[j];
					while (p != -1 && tr[p].nxt[c] == q) {
						tr[p].nxt[c] = clone;
						p = tr[p].link;
					}
					tr[q].link = tr[ind].link = clone;
				}
			}
			lst = ind;
			key[i] = ind; //ind是一个关键节点
		}
	}
	
	inline void getans() {
		for (int i = 1; i <= n; i++) {
			int p = key[i];
			while (p != -1) {
				tr[p].cnt++;
				p = tr[p].link;
			}
		}
		for (ll i = 1; i <= tot; i++) {
			ll x = tr[i].len - tr[tr[i].link].len, y = tr[i].cnt;
			ans += y * (y + 1) / 2 * x;
		}
	}
}T;


int main() {
	scanf("%s", s + 1);
	n = strlen(s + 1);
	T.build(s, n);
	T.getans();
	printf("%lld\n", ans);
	return 0;
}

时间复杂度\(O(n*26)\)