诗人小G[NOI2009]

【题目描述】
小 G 是一个出色的诗人，经常作诗自娱自乐。但是，他一直被一件事情所困扰，那就是诗的排版问题。

一首诗包含了若干个句子，对于一些连续的短句，可以将它们用空格隔开并放在一行中，注意一行中可以放的句子数目是没有限制的。小 G 给每首诗定义了一个行标准长度（行的长度为一行中符号的总个数），他希望排版后每行的长度都和行标准长度相差不远。显然排版时，不应改变原有的句子顺序，并且小 G 不允许把一个句子分在两行或者更多的行内。在满足上面两个条件的情况下，小 G 对于排版中的每行定义了一个不协调度, 为这行的实际长度与行标准长度差值绝对值的 $P$ 次方，而一个排版的不协调度为所有行不协调度的总和。

小 G 最近又作了几首诗，现在请你对这首诗进行排版，使得排版后的诗尽量协调（即不协调度尽量小），并把排版的结果告诉他。

【输入格式】

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题目描述
小 G 是一个出色的诗人，经常作诗自娱自乐。但是，他一直被一件事情所困扰，那就是诗的排版问题。

一首诗包含了若干个句子，对于一些连续的短句，可以将它们用空格隔开并放在一行中，注意一行中可以放的句子数目是没有限制的。小 G 给每首诗定义了一个行标准长度（行的长度为一行中符号的总个数），他希望排版后每行的长度都和行标准长度相差不远。显然排版时，不应改变原有的句子顺序，并且小 G 不允许把一个句子分在两行或者更多的行内。在满足上面两个条件的情况下，小 G 对于排版中的每行定义了一个不协调度, 为这行的实际长度与行标准长度差值绝对值的 PP 次方，而一个排版的不协调度为所有行不协调度的总和。

小 G 最近又作了几首诗，现在请你对这首诗进行排版，使得排版后的诗尽量协调（即不协调度尽量小），并把排版的结果告诉他。

【输入格式】
输入文件中的第一行为一个整数 $T$，表示诗的数量。

接下来为 $T$ 首诗，这里一首诗即为一组测试数据。每组测试数据中的第一行为三个由空格分隔的正整数 $N,L,P$，其中：$N$ 表示这首诗句子的数目，$L$ 表示这首诗的行标准长度，$P$ 的含义见问题描述。

从第二行开始，每行为一个句子，句子由英文字母、数字、标点符号等符号组成（ASCII 码 $33～127$，但不包含 -）。

【输出格式】
于每组测试数据，若最小的不协调度不超过 $10^{18}$，则第一行为一个数，表示不协调度。接下来若干行，表示你排版之后的诗。注意：在同一行的相邻两个句子之间需要用一个空格分开。

如果有多个可行解，它们的不协调度都是最小值，则输出任意一个解均可。若最小的不协调度超过 $10^{18}$，则输出 Too hard to arrange。
每组测试数据结束后输出 --------------------，共20个 -，- 的 ASCII 码为 45，请勿输出多余的空行或者空格。

$n\le 10^5, l\le 3*10^6, p\le 10$

题解

记$sum[i]$为前$i$句的长度和，$dp[i]$为前$i$句的最小不协调度。有一个显而易见的DP方程： $dp[i]=\min\limits_{j=1}^{i-1}(dp[j]+|sum[i]-sum[j]+(i-j-1)-l|^p)$

直接DP显然是$O(n^2)$的对于这道题我们实际上可以使用决策单调性优化复杂度。

注意到上面的那个转移方程每个$dp[i]$通过枚举前面的$i-1$个$j$取最小得到我们把$dp[i]$取到最小的那个$j$记为$p[i]$，这个东西就叫决策。

如果一个DP满足决策单调性，这就是说这个DP满足$p[1]\le p[2]\le \cdots \le p[n]$。

怎么证明一个DP方程是否满足决策单调性？

一个DP方程可以表示成$dp[i]=\min\limits_{j=1}^{i-1}(dp[j]+w(j,i))$ (这道题中$w(j,i)=|sum[i]-sum[j]+(i-j-1)-l|^p$) ，且对于任意的整数$a,b(a<b)$，都有$w(a,b+1)+w(a+1,b)\ge w(a,b)+w(a+1,b+1)$，那么这个DP方程满足决策单调性。

这道题的DP是满足决策单调性的，证明太长不证了，~~可以由打表得出结论~~。

那么这有什么好处呢

我们把最终的$p$数组列出来，大概就长这样：$1,1,2,2,3,3,3,\cdots$

因为它是单调不降的所以我们可以二分出对于两个数$a,b$，从哪个$dp[i]$开始用$a$作为$dp[i]$的决策不如用$b$作为$dp[i]$的决策。

比如上面那个$p$数组的例子从$dp[5]$开始以$2$作为决策就不如$3$了

那么我们就可以通过维护一个单调队列来维护枚举到的$dp[i]$的最优决策是什么了队列中的每个元素维护两个值一个是下标$id$，另一个数$st$表示从$dp[st[i]]$开始到$dp[st[i+1]-1]$为止决策选择$id[i]$是最优的

具体的说假设现在正在计算$dp[5]$，$p$数组前四个是$1,1,1,2$ 那么队列里可能会是这样：

第一个元素 $id[1]=1$ $st[1]=1$表示从$dp[st[1]]$开始到$dp[st[2]-1]$为止选择$1$为决策最优第二个元素 $id[2]=2$ $st[2]=4$同理

那么现在要推出$dp[5]$ 由于选择$1$为决策最优的范围是$st[1]\sim st[2]$也就是$1\sim 4$ 那么决策$1$对$dp[5]$已经没用了所以从队头弹出。

此时队头元素的$id$是$2$ 那么就表明$p[5]=2$ $dp[5]$从$dp[2]$转移过来最优我们让$dp[5]=dp[2]+|sum[5]-sum[2]+(5-2-1)-l|^p$

然后我们要看看$5$作为决策会不会比$2$好由于决策单调性我们可以二分出$l(l>5)$ 表示从$l$开始决策选择$5$比选择$2$更优如果此时$l<st[2]$ 那就说明$5$整个就是比$2$要优的直接把$2$从队尾弹出

把所有要弹的弹出去之后就在队尾插入这个新增的元素基本就和普通的单调队列差不多吧。。。

请结合代码食用(感觉代码写的还是很易懂的)

【代码】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long double db;

int ttt, n, L, p, sum[100005], ans[100005]; 
char s[100005][40];
int q[100005], st[100005], head, tail;
db dp[100005];

inline db fpow(db x, int t) {
	db ret = 1.0;
	for (; t; t >>= 1, x *= x) if (t & 1) ret *= x;
	return ret;
}

inline db cal(int j, int i) {
	return dp[j] + fpow(fabs(sum[i] - sum[j] + (i - j - 1) - L), p);
}

inline int find(int j, int i) {
	if (cal(j, n) < cal(i, n)) return n + 1;
	int l = i, r = n, mid, anss;
	while (l <= r) {
		mid = (l + r) >> 1;
		if (cal(j, mid) >= cal(i, mid)) {
			anss = mid;
			r = mid - 1;
		} else l = mid + 1;
	}
	return anss;
} 

int main() {
	scanf("%d", &ttt);
	while (ttt--) {
		scanf("%d%d%d", &n, &L, &p);
		for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%s", s[i]+1), sum[i] = sum[i-1] + strlen(s[i]+1);
		head = 1, q[tail=1] = 0, st[1] = 1;
		for (int i = 1; i <= n; i++) {
			while (head < tail && st[head+1] <= i) head++; //把 当前head覆盖区间整个都在i前面的head弹出
			ans[i] = q[head];
			dp[i] = cal(q[head], i);
			while (head < tail && st[tail] >= find(q[tail], i)) tail--; //把 当前tail覆盖区间内的全部dp[j] 通过id[tail]转移都不如通过i转移 的tail弹出
			q[++tail] = i; st[tail] = find(q[tail-1], q[tail]);
		} 
		if (dp[n] > 1e18) puts("Too hard to arrange");
		else {
			printf("%lld\n", (long long)dp[n]);
			tail = 0;
			for (int i = n; i; i = ans[i]) {
				q[++tail] = i;
			}
			head = tail;
			for (int i = 1; i <= n; i++) {
				printf("%s", s[i]+1);
				if (i == q[head]) {
					head--; puts("");
				} else putchar(' ');
			}
		}
		puts("--------------------");
	}
	return 0;
}

posted @ 2020-02-25 18:33 AK_DREAM 阅读(188) 评论(0) 编辑收藏举报

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