完全平方数[中山市选2011]

【题目描述】
小 X 自幼就很喜欢数。但奇怪的是，他十分讨厌完全平方数。他觉得这些
数看起来很令人难受。由此，他也讨厌所有是完全平方数的正整数倍的数。然而
这丝毫不影响他对其他数的热爱。
这天是小X的生日，小 W 想送一个数给他作为生日礼物。当然他不能送一
个小X讨厌的数。他列出了所有小X不讨厌的数，然后选取了第 K个数送给了
小X。小X很开心地收下了。
然而现在小 W 却记不起送给小X的是哪个数了。你能帮他一下吗？

【输入格式】
包含多组测试数据。文件第一行有一个整数 \(T\)，表示测试
数据的组数。
第 \(2\) 至第 \(T+1\) 行每行有一个整数 \(K_i\)，描述一组数据，含义如题目中所描述。

【输出格式】
含 \(T\) 行，分别对每组数据作出回答。第 \(i\) 行输出相应的
第 \(K_i\) 个不是完全平方数的正整数倍的数。

这种题一眼二分答案啊QWQ

然后问题就变成求1~x中有多少个合法的数了

当然是总数减不合法的

看一下不合法的怎么算

首先 \(4=2^2\) 的倍数都不合法 减掉\(\lfloor \frac{n}{4} \rfloor\)
然后 \(9=3^2\) 也不合法 减掉 \(\lfloor \frac{n}{9} \rfloor\)
\(16\)呢？显然\(4\)的时候已经算过了 跳过
\(25\)我们也跳过了 重点看一下\(36\)
注意到\(36\)的倍数在\(4\)和\(9\)的时候都被减了一次(因为\(6=2 * 3\)，所以\(6^2=2^2 * 3^2\)) 因为容斥 我们反而要加回来一个\(\lfloor \frac{n}{36} \rfloor\)

再看看我们做了哪些运算：$$ + \lfloor \frac{n}{4} \rfloor * (-1) + \lfloor \frac{n}{9} \rfloor * (-1) + \lfloor \frac{n}{16} \rfloor * 0 + \lfloor \frac{n}{25} \rfloor * (-1) + \lfloor \frac{n}{36} \rfloor * 1$$

然后我们发现了美妙性质：\(1\sim x\)中合法的数的个数 \(=x-\sum\limits_{i=1}^x \mu(i)*\lfloor \frac{n}{i^2} \rfloor\)

没毛病 然后质数筛预处理一下莫比乌斯函数 二分\(r\)开到\(2*10^{9}\)就够了

时间复杂度\(O(\sqrt{K} \log{K})\)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

inline ll read() {
	ll x = 0, f = 1; char ch = getchar();
	for (; ch > '9' || ch < '0'; ch = getchar()) if (ch == '-') f = -1;
	for (; ch <= '9' && ch >= '0'; ch = getchar()) x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ '0');
	return x * f;
}

ll t, n; 
ll prime[100005], tot, mobius[100005];
bool np[100005];

inline void init() {
	mobius[1] = 1;
	for (ll i = 2; i <= 100000; i++) {
		if (!np[i]) {
			prime[++tot] = i;
			mobius[i] = -1;
		}
		for (ll j = 1; j <= tot && i * prime[j] <= 100000; j++) {
			np[i * prime[j]] = 1;
			if (i % prime[j] == 0) {
				mobius[i * prime[j]] = 0;
				break;
			} else mobius[i * prime[j]] = -mobius[i];
		}
	}
}

inline bool check(ll x) {
	ll sum = x;
	for (ll i = 2; i * i <= x; i++) {
		sum += mobius[i] * (x / (i * i));
	}
	return sum >= n;
}

int main() {
	t = read();
	init();
	while (t--) {
		n = read();
		ll l = 1, r = 10000000000, mid, ans;
		while (l <= r) {
			mid = (l + r) >> 1;
			if (check(mid)) {
				ans = mid;
				r = mid - 1;
			} else l = mid + 1;
		}
		printf("%lld\n", ans);
	}
	return 0;
}