同类分布[AHOI2009]
【题目描述】
给出两个数\(a,b\),求出\([a,b]\)中各位数字之和能整除原数的数的个数。
【输入格式】
一行,两个整数\(a\)和\(b\)(\(a,b\le 10^{18}\))
【输出格式】
一个整数,表示答案
题解
数位DP的一般思想就是表示状态,然后记忆化搜索
由于整除这个操作不太好处理,而\(10^{18}\)以内的数的数字和是不会超过\(9*18=162\)的 所以可以先枚举最终的数字和
考虑子状态需要记录哪些信息以便进行记忆化搜索
假设现在枚举到的最终数字和为\(m\) 从高到低按数位搜索
设当前枚举到数的前\(k\)位,数字和为\(sum\),这个\(k\)位数模\(m\)余\(r\)。如果两个\(k\)位数的\(sum,r\)都相同,其实后面能填的数字也会是一样的,就可以进行记忆化。
举例来说,\(m=20\),枚举到第3位
\(163??\) 和 \(523??\)
163和523模20同余,数字和也均为10
那么后两位能填的数也会一样 不需要再搜索\(523??\)而是只用返回\(163??\)的结果
枚举\(m\) 子状态就是\(dp[i][j][k]\)表示枚举到前i位,数字和为j,这个i位数模m余k
最后用\(1\sim r\)的减掉\(1\sim l-1\)的即可
时间复杂度\(O(162^3*数位个数)\)
【代码】
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll a, b, ans, ans2;
ll num[20], len, mod;
ll dp[20][200][200];
inline void getnum(ll x) {
len = 0;
while (x) {
num[++len] = x % 10;
x /= 10;
}
}
ll dfs(ll d, ll sum, ll m, ll lim) {
if (d <= 0) {
return (m == 0 && sum == mod ? 1 : 0);
}
if (!lim && ~dp[d][sum][m]) return dp[d][sum][m];
ll ret = 0, mx = lim ? num[d] : 9;
for (int i = 0; i <= mx; i++) {
ret += dfs(d-1, sum+i, (m*10+i)%mod, lim && i == mx);
}
if (!lim) dp[d][sum][m] = ret;
return ret;
}
ll work(ll x) {
if (!x) return 0;
getnum(x);
ll ret = 0;
for (int i = 1; i <= 9 * len; i++) {
mod = i;
memset(dp, -1, sizeof(dp));
ret += dfs(len, 0, 0, 1);
}
return ret;
}
int main() {
scanf("%lld %lld", &a, &b);
ans = work(a-1);
ans2 = work(b);
printf("%lld\n", ans2 - ans);
return 0;
}