同类分布[AHOI2009]

【题目描述】
给出两个数\(a,b\)，求出\([a,b]\)中各位数字之和能整除原数的数的个数。

【输入格式】
一行，两个整数\(a\)和\(b\)(\(a,b\le 10^{18}\))

【输出格式】
一个整数，表示答案

题解

数位DP的一般思想就是表示状态，然后记忆化搜索

由于整除这个操作不太好处理，而\(10^{18}\)以内的数的数字和是不会超过\(9*18=162\)的 所以可以先枚举最终的数字和

考虑子状态需要记录哪些信息以便进行记忆化搜索

假设现在枚举到的最终数字和为\(m\) 从高到低按数位搜索
设当前枚举到数的前\(k\)位，数字和为\(sum\)，这个\(k\)位数模\(m\)余\(r\)。如果两个\(k\)位数的\(sum,r\)都相同，其实后面能填的数字也会是一样的，就可以进行记忆化。

举例来说，\(m=20\)，枚举到第3位
\(163??\) 和 \(523??\)
163和523模20同余，数字和也均为10
那么后两位能填的数也会一样 不需要再搜索\(523??\)而是只用返回\(163??\)的结果

枚举\(m\) 子状态就是\(dp[i][j][k]\)表示枚举到前i位，数字和为j，这个i位数模m余k

最后用\(1\sim r\)的减掉\(1\sim l-1\)的即可

时间复杂度\(O(162^3*数位个数)\)

【代码】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

ll a, b, ans, ans2;
ll num[20], len, mod;
ll dp[20][200][200];

inline void getnum(ll x) {
	len = 0;
	while (x) {
		num[++len] = x % 10;
		x /= 10;
	}
}

ll dfs(ll d, ll sum, ll m, ll lim) {
	if (d <= 0) {
		return (m == 0 && sum == mod ? 1 : 0);
	}
	if (!lim && ~dp[d][sum][m]) return dp[d][sum][m];
	ll ret = 0, mx = lim ? num[d] : 9;
	for (int i = 0; i <= mx; i++) {
		ret += dfs(d-1, sum+i, (m*10+i)%mod, lim && i == mx);
	}
	if (!lim) dp[d][sum][m] = ret;
	return ret;
}

ll work(ll x) {
	if (!x) return 0;
	getnum(x); 
	ll ret = 0;
	for (int i = 1; i <= 9 * len; i++) {
		mod = i;
		memset(dp, -1, sizeof(dp));
		ret += dfs(len, 0, 0, 1);
	}
	return ret;
}

int main() {
	scanf("%lld %lld", &a, &b);
	ans = work(a-1);
	ans2 = work(b);
	printf("%lld\n", ans2 - ans);
	return 0;
}