不等数列

【题目描述】
将\(1\)到\(n\)任意排列，然后在排列的每两个数之间根据他们的大小关系插入“\(>\)”和“\(<\)”。问在所有排列中，有多少个排列恰好有\(k\)个“\(<\)”。答案对\(2012\)取模。

【输入格式】
第一行\(2\)个整数\(n,k\)。

【输出格式】
一个整数表示答案。

【数据范围】
对于30%的数据：\(n \leq 10\)
对于100%的数据：\(k < n \leq 1000\)

题解
考虑一个比较简单的情况 \(2, 1, 3\)
这个序列现在有 \(1\) 个 \(<\) 和 \(1\) 个 \(>\)
假设现在要把 \(4\) 插入这个序列
(1) 如果要将 \(4\) 放到原有的两个数之间 因为 \(4\) 一定会是当前序列中最大的 所以会新产生一个 \(<\) 和一个 \(>\)。如果插入的位置原来是\(>\) 则 \(<\)的总量会+1 反之\(>\)的总量会+1
(2) 如果把\(4\)放在最左边 就会新产生一个\(>\) 如果放在最右边就会新产生一个\(<\)

综上 \(4\) 一共有四个位置可以插入 其中有两个位置会使\(<\)的总数+1 另外两个位置会使\(>\)的总数+1
对于一般情况 如果当前要插入\(i\) 则一共会有正好\(i\)个位置可供插入 设目前有\(j\)个\(<\) 则会有\(i-j-1\)种情况使得\(<\)增多一个 会有\(j+1\)种情况使得\(>\)增多一个
然后就可以DP了 设 \(f[i][j]\) 表示\(1\)~\(i\)的排列中有\(j\)个\(<\)的方案数 则转移方程为\(f[i][j]=f[i-1][j-1]*(i-j)+f[i-1][j]*(j+1)\)
边界: \(f[2][0]=f[2][1]=1\)

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;

const ll mod = 2012;
ll n, k;
ll dp[1005][1005];

int main() {
	scanf("%lld %lld", &n, &k);
	dp[2][0] = dp[2][1] = 1;
	for (ll i = 3; i <= n; i++) {
		for (ll j = 0; j <= min(k, i - 1); j++) {
			dp[i][j] = (dp[i][j] + dp[i-1][j-1] * (i - j)) % mod;
			dp[i][j] = (dp[i][j] + dp[i-1][j] * (j + 1)) % mod;
		}
	}
	printf("%lld\n", dp[n][k]);
	return 0;
}