雨林跳跃[APIO2021]

https://www.luogu.com.cn/problem/P7599

题解

考虑找到 $(B,C)$ 区间内的最高树 $M$ 和 $[C,D]$ 中的最高树 $N$

那么最后一步跳跃一定是从某棵满足 {$H_M \le H_T \le H_N$} 且 {$(T,M)$ 中没有比 $T$ 更高的树} 的树 $T$ 跳进 $[C,D]$ 区间中

我们把所有这样的树 $T$ 叫做"准终点"

所以原问题的目标就等价于用最少的步数跳到一个准终点上 然后再跳一步进入 $[C,D]$

从 $[A,B]$ 中的哪棵树开始？

如果 $[A,B]$ 中存在一个准终点，那么显然可以直接从那棵树出发，只需一步即可完成

否则，最优方案应该从 $[A,B]$ 中满足 {$(P,M)$ 中没有比 $P$ 更高的树} 的树中最高的那棵 $P$ 开始 下面给出证明

如图，$R$ 是 $P$ 向左跳一次到的那棵树，$Q$ 是向右跳一次到的那棵树

由于上文假设 $[A,B]$ 中没有合法的准终点 ，所以树 $R$ 比 树 $N$ 更高，所以向右跳一次一定会到达 $D$ 右边，因此 $[A,R]$ 区间的树都不能作为起点

对于 $(R,P)$ 区间的树，它们的高度全部小于 $H[P]$。如果想要跳出 $(R,P)$ 区间，不论怎么跳都会到达 $R,P$ 其中一棵树，一定没有从 $P$ 开始优

对于 $(P,Q)$ 区间的树同理，一定会跳到 $P,Q$ 其中一棵树，然而 $P$ 只需一步就能跳到 $Q$ ，所以一定没有 $P$ 优秀

所以从 $P$ 出发一定最优，QED

如何找到最优出发点？

从第 $B$ 棵树开始，倍增地向左跳，跳到最左边的一棵在 $A$ 之前并且高度小于树 $N$ 的树，它就是最优出发点

如果它是准终点，那么只需一步，否则需要多步

从 $P$ 出发怎么跳最优？

对于一棵树，可以向左跳或者向右跳，我们把跳到左右中较高的一棵树称作跳高边，反之叫跳低边

有如下跳的策略：

• 如果当前树既可以向左跳又可以向右跳，并且向左右跳到的树高度都小于树 $M$ ，那么优先跳高边(我们希望用尽量少的步数使当前高度增加)
• 如果某时刻跳高边会使得跳到的树高度大于等于树 $M$ ，那么验证一下跳高边到的那棵树是否是一个准终点，如果是那么就直接跳到它
• 否则就总是向右跳，跳到一个准终点为止(如果跳不到说明无解)

容易发现这就是最优策略

实现时先从最优出发点出发，倍增跳高边跳到最高的一棵高度小于树 $M$ 的为止 假设是树 $X$

检查从 $X$ 跳高边到的那棵树是不是准终点

如果不是，那就从 $X$ 出发倍增向右跳跳到最高的一棵高度小于树 $M$ 的为止，然后检查它向右跳一步是不是准终点

所有的步骤都可以使用ST表或者倍增实现，所以总时间复杂度是 $O((n+q)\log n)$