雨林跳跃[APIO2021]

https://www.luogu.com.cn/problem/P7599

题解

考虑找到 \((B,C)\) 区间内的最高树 \(M\) 和 \([C,D]\) 中的最高树 \(N\)

那么最后一步跳跃一定是从某棵满足 {\(H_M \le H_T \le H_N\)} 且 {\((T,M)\) 中没有比 \(T\) 更高的树} 的树 \(T\) 跳进 \([C,D]\) 区间中

我们把所有这样的树 \(T\) 叫做"准终点"

所以原问题的目标就等价于用最少的步数跳到一个准终点上 然后再跳一步进入 \([C,D]\)

从 \([A,B]\) 中的哪棵树开始？

如果 \([A,B]\) 中存在一个准终点，那么显然可以直接从那棵树出发，只需一步即可完成

否则，最优方案应该从 \([A,B]\) 中满足 {\((P,M)\) 中没有比 \(P\) 更高的树} 的树中最高的那棵 \(P\) 开始 下面给出证明

如图，\(R\) 是 \(P\) 向左跳一次到的那棵树，\(Q\) 是向右跳一次到的那棵树

由于上文假设 \([A,B]\) 中没有合法的准终点 ，所以树 \(R\) 比 树 \(N\) 更高，所以向右跳一次一定会到达 \(D\) 右边，因此 \([A,R]\) 区间的树都不能作为起点

对于 \((R,P)\) 区间的树，它们的高度全部小于 \(H[P]\)。如果想要跳出 \((R,P)\) 区间，不论怎么跳都会到达 \(R,P\) 其中一棵树，一定没有从 \(P\) 开始优

对于 \((P,Q)\) 区间的树同理，一定会跳到 \(P,Q\) 其中一棵树，然而 \(P\) 只需一步就能跳到 \(Q\) ，所以一定没有 \(P\) 优秀

所以从 \(P\) 出发一定最优，QED

如何找到最优出发点？

从第 \(B\) 棵树开始，倍增地向左跳，跳到最左边的一棵在 \(A\) 之前并且高度小于树 \(N\) 的树，它就是最优出发点

如果它是准终点，那么只需一步，否则需要多步

从 \(P\) 出发怎么跳最优？

对于一棵树，可以向左跳或者向右跳，我们把跳到左右中较高的一棵树称作跳高边，反之叫跳低边

有如下跳的策略：

• 如果当前树既可以向左跳又可以向右跳，并且向左右跳到的树高度都小于树 \(M\) ，那么优先跳高边(我们希望用尽量少的步数使当前高度增加)
• 如果某时刻跳高边会使得跳到的树高度大于等于树 \(M\) ，那么验证一下跳高边到的那棵树是否是一个准终点，如果是那么就直接跳到它
• 否则就总是向右跳，跳到一个准终点为止(如果跳不到说明无解)

容易发现这就是最优策略

实现时先从最优出发点出发，倍增跳高边跳到最高的一棵高度小于树 \(M\) 的为止 假设是树 \(X\)

检查从 \(X\) 跳高边到的那棵树是不是准终点

如果不是，那就从 \(X\) 出发倍增向右跳跳到最高的一棵高度小于树 \(M\) 的为止，然后检查它向右跳一步是不是准终点

所有的步骤都可以使用ST表或者倍增实现，所以总时间复杂度是 \(O((n+q)\log n)\)