方伯伯的商场之旅[SCOI2014]

题目描述

方伯伯有一天去参加一个商场举办的游戏。商场派了一些工作人员排成一行。每个人面前有几堆石子。说来也巧，位置在 \(i\) 的人面前的第 \(j\) 堆的石子的数量，刚好是 \(i\) 写成 \(K\) 进制后的第 \(j\) 位。

现在方伯伯要玩一个游戏，商场会给方伯伯两个整数 \(L,R\)。方伯伯要把位置在 \([L,R]\) 中的每个人的石子都合并成一堆石子。每次操作，他可以选择一个人面前的两堆石子，将其中的一堆中的某些石子移动到另一堆，代价是移动的石子数量 \(\times\) 移动的距离。商场承诺，方伯伯只要完成任务，就给他一些椰子，代价越小，给他的椰子越多。所以方伯伯很着急，想请你告诉他最少的代价是多少。

输入格式

输入仅有一行，包含三个用空格分隔的整数 \(L\)，\(R\)，\(K\)，表示商场给方伯伯的两个整数，以及进制数。

输出格式

输出仅有一行，包含一个整数，表示最少的代价。

题解

考虑用 \(1\sim R\) 的答案减掉 \(1\sim L-1\) 的答案，即 \(\operatorname{solve}(R) - \operatorname{solve}(L-1)\)。

考虑 \(\operatorname{solve}(n)\)，先计算把每个人的石子都全部合并到第 \(1\) 堆所需的代价

这个是可以通过一次数位dp解决的

ll dfs1(ll d, ll sum, ll lim) {
	if (!d) return sum;
	if (!lim && ~f[d][sum]) return f[d][sum];
	ll ret = 0; int mx = lim ? a[d] : k-1;
	for (ll i = 0; i <= mx; i++) {
		ret += dfs1(d-1, sum + i * (d - 1), lim & (i == mx)); 
		//第d位有i个石子要移动到第1位
	}
	if (!lim) f[d][sum] = ret;
	return ret;
}

注意到这样一个性质：对于一个人 \(x\)，假设他把所有石子最终全部移到第 \(k\) 位，我们把 \(k\) 叫做 \(x\) 的集合点，这样移动的代价是 \(f_x(k)\)，那么 \(f_x\) 一定是一个单谷函数

不妨把 \(x\) 的最优集合点叫做 \(p_x\)

所以我们可以执行这样的操作：

for i=2~n，每次把所有 "集合点在 \(i\) 时比在 \(i-1\) 时更优 (即 \(f_x(i-1)>f_x(i)\))" 的那些 \(x\) 的集合点全部从 \(i-1\) 变为 \(i\)，也就是说让答案减去 \(f_x(i-1)-f_x(i)\)

这样一来，由于 \(f_x\) 是单谷函数，那么一个人 \(x\) 一定在 \(i=2\sim p_x\) 的时候集合点被移动，那么 \(x\) 的最终代价就会是 \(f_x(p_x)\)，所以这个做法是正确的

然后考虑如何进行这个"挪动集合点"的操作 其实和上面的那个计算集合点全为1的数位dp区别不大

ll dfs2(ll d, ll sum, ll p, ll lim) {
	if (!d) return max(0ll, sum); //如果sum<0则说明不把集合点从p-1挪到p比较优
	if (!lim && ~f[d][sum]) return f[d][sum];
	ll ret = 0; int mx = lim ? a[d] : k-1;
	for (ll i = 0; i <= mx; i++) {
		ret += dfs2(d-1, sum + (d < p ? -i : i), p, lim & (i == mx));
	}
	if (!lim) f[d][sum] = ret;
	return ret;
}

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

ll k, len, a[60];
ll L, R, f[60][5005];

ll dfs1(ll d, ll sum, ll lim) {
	if (!d) return sum;
	if (!lim && ~f[d][sum]) return f[d][sum];
	ll ret = 0; int mx = lim ? a[d] : k-1;
	for (ll i = 0; i <= mx; i++) {
		ret += dfs1(d-1, sum + i * (d - 1), lim & (i == mx));
	}
	if (!lim) f[d][sum] = ret;
	return ret;
}

ll dfs2(ll d, ll sum, ll p, ll lim) {
	if (!d) return max(0ll, sum);
	if (!lim && ~f[d][sum]) return f[d][sum];
	ll ret = 0; int mx = lim ? a[d] : k-1;
	for (ll i = 0; i <= mx; i++) {
		ret += dfs2(d-1, sum + (d < p ? -i : i), p, lim & (i == mx));
	}
	if (!lim) f[d][sum] = ret;
	return ret;
}

ll solve(ll n) {
	len = 0;
	ll tmp = n;
	while (tmp) {
		a[++len] = tmp % k;
		tmp /= k;
	}
	memset(f, -1, sizeof(f));
	ll ret = dfs1(len, 0, 1);
	for (ll i = 2; i <= len; i++) {
		memset(f, -1, sizeof(f));
		ret -= dfs2(len, 0, i, 1);
	}
	return ret;
}

int main() {
	scanf("%lld %lld %lld", &L, &R, &k);
	printf("%lld\n", solve(R) - solve(L-1));
	return 0;
}