长跑[BZOJ2959]
题目描述
某校开展了同学们喜闻乐见的阳光长跑活动。为了能“为祖国健康工作五十年”，同学们纷纷离开寝室，离开教室，离开实验室，到操场参加3000米长跑运动。一时间操场上熙熙攘攘，摩肩接踵，盛况空前。为了让同学们更好地监督自己，学校推行了刷卡机制。学校中有 \(n\) 个地点，用 \(1\) 到 \(n\) 的整数表示，每个地点设有若干个刷卡机。有以下三类事件：
- 修建了一条连接A地点和B地点的跑道。
- A点的刷卡机台数变为了B。
- 进行了一次长跑。问一个同学从A出发，最后到达B最多可以刷卡多少次。具体的要求如下：
当同学到达一个地点时，他可以在这里的每一台刷卡机上都刷卡。但每台刷卡机只能刷卡一次，即使多次到达同一地点也不能多次刷卡。为了安全起见，每条跑道都需要设定一个方向，这条跑道只能按照这个方向单向通行。最多的刷卡次数即为在任意设定跑道方向，按照任意路径从A地点到B地点能刷卡的最多次数。
输入格式
输入的第一行包含两个正整数 \(n,m\)，表示地点的个数和操作的个数。
第二行包含 \(n\) 个非负整数，其中第 \(i\) 个数为第个地点最开始刷卡机的台数。
接下来有 \(m\) 行，每行包含三个非负整数 \(P,A,B\)，\(P\) 为事件类型，\(A,B\) 为事件的两个参数。
最初所有地点之间都没有跑道。
每行相邻的两个数之间均用一个空格隔开。表示地点编号的数均在 \(1\) 到 \(n\) 之间，每个地点的刷卡机台数始终不超过 \(10000\)，\(P=1,2,3\)。
输出格式
输出的行数等于第3类事件的个数，每行表示一个第3类事件。如果该情况下存在一种设定跑道方向的方案和路径的方案，可以到达，则输出最多可以刷卡的次数。如果A不能到达B，则输出 \(-1\)。
题解
LCT维护边双连通分量
说是叫边双连通分量，其实就是在连边导致产生环时把环缩成一个点
例如此题，显然，如果进入了一个环的某个点，那么就一定能把这个环上所有点全部走完，然后再从任意一个点出去
所以可以把所有环缩成点，点权为环上所有点权之和，这样原图就变成了一棵树，每次直接查询A所在的环到B所在的环之间路径的点权和即可
然后此题就做完了
实现也非常简单，可以开并查集来记录两个点是否在同一个边双里，大部分操作与普通的LCT无异，但是有一些细节：
-
LCT内部维护一个并查集记录两个点是否在同一个边双内，外部还要维护一个并查集记录两个点当前是否联通
-
access时跳父亲要跳到find(fa[x])上，更改重儿子时还要记得把新的重儿子的父亲设为自己！ -
如果在两点之间连边时，两点已在同一棵树中，但不在同一个边双中，则要把两点之间的路径上的点合并为一个点：
inline void merge(int x, int y) {
split(x, y);
q.push(y);
while (!q.empty()) {
int u = q.front(); q.pop();
Fa[find(u)] = y;
if (ch[u][0]) q.push(ch[u][0]);
if (ch[u][1]) q.push(ch[u][1]);
ch[u][0] = ch[u][1] = 0; //把儿子清零避免pushup时出错！
}
val[y] = sum[y];
}
- 进行任何操作时(例如
link,split)，都是对find(x)进行修改，而不是\(x\)！
更多细节详见代码
代码
#include <bits/stdc++.h>
#define N 150005
using namespace std;
inline int read() {
int x = 0, f = 1; char ch = getchar();
for (; ch > '9' || ch < '0'; ch = getchar()) if (ch == '-') f = -1;
for (; ch <= '9' && ch >= '0'; ch = getchar()) x = (x << 3) + (x << 1) + (ch ^ '0');
return x * f;
}
namespace LCT{
int Fa[N], fa[N], ch[N][2], sum[N], val[N], tag[N];
int find(int x) { return Fa[x] == x ? x : Fa[x] = find(Fa[x]); }
inline bool isroot(int x) { return ch[fa[x]][0] != x && ch[fa[x]][1] != x; }
inline void pushup(int x) { sum[x] = sum[ch[x][0]] + sum[ch[x][1]] + val[x]; }
inline void rev(int x) { swap(ch[x][0], ch[x][1]); tag[x] ^= 1; }
inline void pushdown(int x) {
if (!tag[x]) return; tag[x] = 0;
if (ch[x][0]) rev(ch[x][0]); if (ch[x][1]) rev(ch[x][1]);
}
inline void rotate(int x) {
int y = fa[x], z = fa[y], k = (ch[y][1]==x);
if (!isroot(y)) ch[z][ch[z][1]==y] = x;
fa[x] = z;
ch[y][k] = ch[x][!k]; fa[ch[x][!k]] = y;
ch[x][!k] = y; fa[y] = x;
pushup(y); pushup(x);
}
int stk[N], top;
inline void splay(int x) {
stk[top=1] = x;
for (int i = x; !isroot(i); i = fa[i]) stk[++top] = fa[i];
while (top) pushdown(stk[top--]);
while (!isroot(x)) {
int y = fa[x], z = fa[y];
if (!isroot(y)) ((ch[y][1]==x)^(ch[z][1]==y)) ? rotate(x) : rotate(y);
rotate(x);
}
}
inline void access(int x) {
for (int i = 0; x; i = x, x = find(fa[x])) {
splay(x); ch[x][1] = i;
if (i) fa[i] = x;
pushup(x);
}
}
inline void makeroot(int x) {
access(x); splay(x); rev(x);
}
inline void split(int x, int y) {
makeroot(x); access(y); splay(y);
}
inline void link(int x, int y) {
makeroot(x); fa[x] = y;
}
queue<int> q;
inline void merge(int x, int y) {
split(x, y);
q.push(y);
while (!q.empty()) {
int u = q.front(); q.pop();
Fa[find(u)] = y;
if (ch[u][0]) q.push(ch[u][0]);
if (ch[u][1]) q.push(ch[u][1]);
ch[u][0] = ch[u][1] = 0;
}
val[y] = sum[y];
}
}
int n, m, Fa[N], a[N];
int find(int x) { return Fa[x] == x ? x : Fa[x] = find(Fa[x]); }
void Link(int x, int y) {
int fx = LCT::find(x), fy = LCT::find(y);
if (fx == fy) return;
int u = find(x), v = find(y);
if (u != v) {
Fa[u] = v;
LCT::link(fx, fy);
} else {
LCT::merge(fx, fy);
}
}
int main() {
n = read(), m = read();
for (int i = 1; i <= n; i++) a[i] = LCT::val[i] = read();
for (int i = 1; i <= n; i++) Fa[i] = LCT::Fa[i] = i;
for (int i = 1, tp, x, y; i <= m; i++) {
tp = read(); x = read(); y = read();
if (tp == 1) {
Link(x, y);
} else if (tp == 2) {
int v = y - a[x];
a[x] = y;
int fx = LCT::find(x);
LCT::makeroot(fx);
LCT::val[fx] += v;
LCT::pushup(fx);
} else {
if (find(x) != find(y)) puts("-1");
else {
int fx = LCT::find(x), fy = LCT::find(y);
LCT::split(fx, fy);
printf("%d\n", LCT::sum[fy]);
}
}
}
return 0;
}
