扩展欧几里得&&中国剩余定理（学习笔记）
原本是想把CRT、扩展CRT、欧几里得、扩展欧几里得都写在这，但由于博主太菜，刚刚才会EXCRT qwq
在退组边缘徘徊的我果然还是菜了一点啊！！！
布吉岛为什么但就是想奶一口gql省队稳了2333
不闲扯了，进入正题！
欧几里得（gcd）&&扩展欧几里得（exgcd）：
先来一个众人皆知的欧几里得算法：\(gcd\ (\ a,b\ )=gcd\ (\ b,a\ mod\ b\ )\)
证明过程自己完成，这里不多加叙述
再来普及一个简单的裴蜀定理：若a,b是整数,且 \(gcd(a,b)=d\)，那么一定存在整数 \(x,y\)，使得\(ax+by=d\) 成立。
裴蜀定理证明请看这里（主要是因为我之前打了一段后发现没证完然后就懒得打了qwq）
那么 \(\bf\Huge\text{扩展欧几里得}\) 来了！！！
扩展欧几里得算法：可以用来求解 \(ax+by=gcd(a,b)\) ，也就是求同余方程 \(ax\equiv gcd(a,b)(mod\ b)\) 的解
算法过程及解如下：
我们要求解 \(ax+by=gcd(a,b)\) 其实主要是想算出 \(x\) 的值，\(y\) 是一个辅助解
然后我们构造这么一个式子：\(bx_1+(a\ mod\ b)y_1=gcd(b,(a\ mod\ b))\) ，根据欧几里得算法，我们可得出 \(bx_1+(a\ mod\ b)y_1=ax+by\) ，不妨把 \(a\ mod\ b\) 变成 \(a-b*(a/b)\) ，然后带入原式：
\(bx_1+(a-b*(a/b))y_1=ax+by\)
\(bx_1+ay_1-b*(a/b)y_1=ax+by\)
\(ay_1+b(x_1-(a/b)y1)=ax+by\)
那么我们求出了一组解：\(x=y_1,y=x_1-(a/b)y_2\)
然后将我们求解的两个式子对比一下：
\(ax+by=gcd(a,b)\)
\(bx_1+(a\ mod\ b)y_1=gcd(b,(a\ mod\ b))\)
是不是发现了什么？是不是有点像欧几里得算法？
然后我们按这种方式递推下去，直到 \(b=0\) ，那么：
\(ax+by=gcd(a,b)\)
\(ax=gcd(a,0)\)
显然 \(gcd(a,0)=a,x=1\) ，此时已经和 \(y\) 的值没有关系了，即此时 \(y\) 的值是任意数，但是这里建议把 \(y\) 赋成 \(0\) ，可以避免在返回中爆 \(long\ long\) 。
之后我们已经求出来了关于同余方程的一个解 \(x\) ，虽然 \(x\) 不一定是最小的，但显然 \(x\) 加上或减去 \(b\) 是没有任何影响的，所以用一个 \(x = (x \% b + b) \% b\) 就可以了求出满足同余方程的最小正整数解了
上代码：
void exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{//x，y都是要返回的值
if(b==0)
{
x=1,y=0;
return;
}
exgcd(b,(a%b),x,y);//递归
int xx=y;//记录一下解
y=x-(a/b)*xx,x=xx;
return;
}
至此，扩展欧几里得讲解完毕qwq
中国剩余定理（CRT）：
中国剩余定理其实真的不难qwq
一般情况下我们是要求解如下式子：
\(\begin{cases} x\equiv a_1(\mod b_1)\quad \\ x\equiv a_2(\mod b_2)\quad \\ ...\quad \\ x\equiv a_n(\mod b_n)\quad \\ \end{cases}\)
其中所有的 \(b_1,b_2...b_n\) 都互质，这里的 \(a_i\) 都小于 \(b_i\) 。
首先我们构造一个数 \(B=b_1*b_2*...*b_n\) ，那么显然当我们求出 \(x\) 之后加上或减去 \(B\) 都是成立的。
接下来考虑对于每一个同余方程的处理：
对于同余式 \(x\equiv a_k(\mod b_k)\) ，我们可以构造一个 \(B_k=B/b_k\) ，显然 \(gcd(B_k,b_k)=1\) ，根据裴蜀定理可得：存在整数 \(i,j\) 使得 \(iB_k+jb_k=1\) ，即 \(iB_k\equiv 1(\mod b_k)\) 。因为 \(iB_k\ mod\ b_k=1\) ，那么有 \(a_i*iB_k\ mod\ b_k=a_i\) ，\(i\) 可以通过扩展欧几里得求得，所以该同余方程的一个解是 \(x=a_i*i*B_k\) 。
再回到整个方程组，我们继续构造一个数 \(x=a_1i_1B_1+a_2i_2B_2+...+a_ni_nB_n\) ，那么这个数就是同余方程组的一个解。因为对于第 \(k\) 个同余方程，\(B_{1...n}\) 中除 \(B_k\) 之外所有数都是 \(b_k\) 的倍数，所以同余方程是成立的。
放一下CRT的代码：
void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
if(b==0)
{
x=1,y=0;
return;
}
exgcd(b,(a%b),x,y);
int xx=y;
y=x-(a/b)*xx,x=xx;
return;
}//扩展欧几里得求解同余方程
lt china()
{
for(int i=1;i<=n;i++) N*=B[i];
for(int i=1;i<=n;i++)
{
int a=N/B[i],b=B[i],x=0,y=0;
exgcd(a,b,x,y);//此处的x还要变成最小正整数解
ans+=a*((x%b+b)%b)*A[i];
}
return (ans%N+N)%N;
}
扩展中国剩余定理（EXCRT）
好了，同样是形如下面的式子：
\(\begin{cases} x\equiv a_1(\mod b_1)\quad \\ x\equiv a_2(\mod b_2)\quad \\ ...\quad \\ x\equiv a_n(\mod b_n)\quad \\ \end{cases}\)
只不过这次不保证所有的 \(b_1,b_2,...,b_n\) 互质
因为不互质，所以我们无法像CRT一样使用扩欧。
考虑你已经求出来了前 \(k-1\) 个同余方程的解，得到的解为 \(ans\) ，设 \(lcm\) 为前 \(k-1\) 个方程中所有的 \(b_i\) 的最小公倍数，则前 \(k-1\) 个方程的解为 \(x=ans+i*lcm\) ，而我们只需要确定一个 \(i\) 使得 \(ans+i*lcm\equiv a_k(\mod b_k)\) ，然后更新一下 \(lcm\) 就好了。
又是一波转化：
\(ans+i*lcm\equiv a_k(\mod b_k)\)
\(i*lcm\equiv a_k-ans(\mod b_k)\)
注意：此处的 \(lcm\) 和 \(b_k\) 不一定互质，需要稍加处理，设 \(gcd=gcd(lcm,b_k),c=(a_k-ans)\ mod\ b_k\) ，由上式可得：
\(i*lcm+h*b_k=c\)
由裴蜀定理可得此方程有解的必要条件是 \(gcd|c\) ，于是继续变形：
\(i/gcd*lcm+h*b_k/gcd=c/gcd\)
\(i/gcd*lcm\equiv c/gcd(\mod b_k/gcd)\)
此时 \(gcd(lcm,b_k/gcd)=1\) ，对于上面这个方程，我们依然可以先求出一个 \(j\) 满足 \(j*lcm\equiv 1(\mod b_k/gcd)\) ，然后再乘以 \(c/gcd\) 倍就好了。
具体代码中有解释：
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{//扩展欧几里得，一并求出gcd
if(b==0)
{
x=1,y=0;
return a;
}
int res=exgcd(b,(a%b),x,y);
int xx=x;
x=y,y=xx-(a/b)*y;
return res;
}
int mul(int s,int p,int mod)
{//这是一个快速乘，防止s*p爆long long
int res=0;
while(p)
{
if(p%2) res=(res+s)%mod;
s=(s+s)%mod;
p/=2;
}
return res%mod;
}
int EXCRT()
{
m=b[1],ans=a[1];//第一个方程要特殊处理，直接赋值就好了
for(int i=2;i<=n;i++)
{
int x,y,c=(a[i]-ans%b[i]+b[i])%b[i];
//c就是前面的ak-ans
int gcd=exgcd(m,b[i],x,y);
x=mul(x,c/gcd,b[i]/gcd);
//这一段我也弄了好久，最后终于搞懂了
//大致把x为什么要乘c/gcd，和%(b/gcd)的原因写在上面了
//不懂欢迎提问
ans+=x*m;//更新ans
m*=(b[i]/gcd);//更新lcm
ans=(ans%m+m)%m;
}
return (ans%m+m)%m);
}
终于更完了qwq心累
