通信原理期末复习笔记

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第一章 绪论

通信性能指标:

信息量:消息x所含的信息量I是x发生的概率的函数 I(x)=log2(P(x)) 单位 bit

信息传输速率:

  • 传码率RB:单位时间内传输码元(可以是二进制、多进制)的个数,单位 Baud/s

  • 传信率Rb:单位时间内传输的比特总数,单位 bit/s或bps

  • 关系:Rb=RBlog2M 其中 M 为进制数

频带利用率(2种表示方式,B为信号传输占用的带宽):

  • η=RBB  (Baud/Hz)
  • ηb=RbB  (bit/s/Hz)

误码率:

  • 码元差错率:Pe=
  • 信息差错率:Pe=

第二章 随机信号与噪声分析

随机过程X(t)的数字特征

  • 数学期望:E[X(t)]=+xf(x,t)dx

  • 方差:D[X(t)]=E{[X(t)a(t)]2} 其中a(t)为数学期望

  • 自相关函数(重要):R(t1,t2)=E[X(t1)X(t2)]

  • 协方差函数:B(t1,t2)=E{[X(t1)a(t1)][X(t2)a(t2)]}

    B(t1,t2)=R(t1,t2)a(t1)a(t2) (重要)

平稳随机过程

广义平稳:

  • 均值与时间t无关,为常数a
  • 自相关函数只与时间间隔有关,为R(τ)

狭义平稳:

  • 一维情况:的概率密度函数与时间t无关

判断 X(t)=Acos(ωt+φ) 的平稳性,其中A和ω为常数,φ服从【均匀分布】,则

  • E[X(t)]=0
  • RX(t1,t2)=A22cosωτ,其中 τ=t2t1

综上:X(t)是广义平稳的

【平稳随机过程的各态历经性】:

假设 x(t) 是平稳随机过程 X(t) 的任意一次实现,则其时间均值、时间相关函数分别为:

  • 时间均值:a¯=limT1TT/2T/2x(t)dt
  • 时间相关函数:R(τ)¯=limT1TT/2T/2x(t)x(t+τ)dt

如果平稳过程使得下式成立:

  • a=E[X(t)]=a¯
  • R(τ)=R(τ)¯

则该平稳随机过程具有各态历经性

【自相关函数的性质】:

记住这幅图就可以记住 R(τ) 的性质(拿随机信号处理的PPT的图来顶一下😅)

  • R(τ) 为偶函数
  • R(0)=E[X2(t)]=σ2+E2() 图中的 σX2 即方差, mX2E2()
  • R(0)为平均功率, σ2为交流功率, E2() 为直流功率

image.png

【功率谱密度函数PX(ω)

  • 确定信号:Px(ω)=limT|XT(ω)|2T

  • 随机信号:PX(ω)=E[Px(ω)]=limTE[|XT(ω)|2]T

性质:自相关函数的傅里叶变换等于 PX(ω),即 R(τ)PX(ω)

  • PX(ω) 是确定函数,偶函数,非负函数

  • 随机过程的平均功率=R(0)=12π+PX(ω)dω

第三章 信道与噪声

香农公式:

信道容量:C=Blog2(1+S/N) (bit/s)

第四章 模拟调制系统

幅度调制

  • 普通调幅AM

    sAM(t)=[A0+m(t)]cosωct 其中m(t)为输入的调制信号,输出sAM(t) 为【调幅信号】,所以经过调制的信号都可称为 【已调信号】

    调幅度:max(m(t))A0 调幅度小于等于 1 时可以采用包络检波

  • 双边带调幅DSB

    sDSB=m(t)cos(ωct)

  • 单边带调制(调制结果分为上边带、下边带两种)

    • 上边带:sUSB=12m(t)cos(ωct)12m^(t)sin(ωct)

    • 下边带:sLSB=12m(t)cos(ωct)+12m^(t)sin(ωct)

      注:m^(t)m(t) 的希尔伯特变换,即 m(t) 的正频率部分相位减去 π2

      image-20220624114805244

带宽:BAM=BDSB=2BSSB=2BVSB

功率:设 Pm为调制信号 m(t) 的平均功率E(m2(t)),则

  • PAM=+=Pc+Ps=A022+Pm2
  • PDSB=Ps=Pm2
  • PSSB=12Ps=14Pm

调制效率:ηAM=PsPAM

解调:

  • AM解调:

    • 相干解调:mo(t)12[m(t)+A0]12m(t)
    • 包络检波:mo(t)m(t)+A0m(t)
  • DSB解调:

    相干:mo(t)=12m(t) 输出功率:Po=14m2(t)¯=14Pm

  • SSB解调:

    相干:mo(t)=14m(t)Po=116m2(t)¯=116Pm

解调器的信噪比增益:

  • GAM1 (包络检波、且为大信噪比时),单音调制,且调制度=100%时,GAM=2/3
  • GDSB=2
  • GSSB=1

平稳高斯白噪声 ni(t) 通过解调器后,输出 no(t)=ni(t)/2,因此输出噪声功率 No=Ni/4

通常高斯白噪声的[双边]功率谱 n02 W/Hz,[单边]功率谱为 n0 W/Hz

角度调制

调角信号:sm(t)=A0cos(ωct+φ(t))

  • 调相:φ(t)=KPm(t)
  • 调频:dφ(t)dt=KFm(t)

调频带宽:BFM=2(D+1)fm ,其中 fm 为调制信号m(t)的最高频率

  • 窄带调频时,D<<1,BNBFM=2fm
  • 宽带调频时,BFM=2(D+1)fm
    • D为调频指数,D=Δfm/fmΔfm=KF|m(t)|max 为最大频偏,单音调制时用 mf代替 D

功率:窄带、宽带均为 PFM==A02/2

调频信号的解调:

  • 非相干解调 mo(t)=KdKFm(t)
  • 相干解调:mo(t)=12A0KFm(t)

信噪比增益:GFM=3mf2(mf+1)3mf3

第五章 数字基带传输系统

各种编码

  • 单极性不归零码

  • 双极性不归零码

  • 单极性归零码

  • 双极性归零码

  • AMI码(传号反转码,1码交替用正、负电平表示,0码用低电平表示)

  • HDB3码(解决AMI码中连0长串问题)

    原码->AMI码->加V(交替正负)->加B(与后一个V正负相同)->±V、±B改为±1
    

数字基带传输

数字基带信号功率谱:

Ps(f)=Pu(f)+Pv(f)=fbP(1P)|G1(f)G2(f)|2+m=+fb2|PG1(mfb)+(1P)G2(mfb)|2δ(fmfb)

单极性NRZ(含直流分量) 双极性NRZ(0,1等概发送) 单极性RZ(含离散分量) 双极性RZ(0,1等概发送)
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无码间干扰

无码间干扰最大速率:RB=21+αfchfch为系统最高截止频率

最大码速时的频带利用率:η=21+α (Baud/Hz)

无码间干扰的误码率:

  • 双极性、等概率发送0,1:Pe=12erfc(A2σn)
  • 单极性、等概率发送0,1:Pe=12erfc(A22σn)

部分响应系统

特点:频带利用率可以达到 2 Baud/Hz

实现方式:

  1. 预编码:bk=akbk1
  2. 相关编码(消除误码传播):ck=bk+bk1
  3. 译码:ak=bkbk1=[ck]mod2

均衡器

输出:

yk=i=NNCixki

第六章 数字信号频带传输

主要介绍如何将数字信号调制到高频范围进行传输

带宽

  • B2ASK=2RB
  • B2FSK=|f1f2|+2RB
  • B2DPSK=B2PSK=2RB

误码率

相干解调

  • 2ASK: 12erfc(r4), r>>1时,1πrer/4
  • 2FSK: 12erfc(r2), r>>1时,12πrer/2
  • 2PSK: 12erfc(r), r>>1时,12πrer
  • 2DPSK: erfc(r), r>>1时,1πrer
  • 4PSK: erfc(rsinπ4)
  • 4DPSK: erfc(2rsinπ8)

非相干解调

  • 2DPSK(差分相干解调): 12er
  • 2FSK(包络检波): 12er/2
  • 2ASK(包络检波): 12er/4

解调框图

......

第七章 现代数字调制技术

主要看书,了解基本目的和原理

QAM:带宽、频率利用率记一下即可

第八章 模拟信号的数字传输

主要介绍模拟信号如何转换为数字信号:采样、量化、编码

采样定理

fs=2fm

了解一下理想采样、自然采样、平顶采样

带通抽样定理

采样角频率:

ωs=2W(1+MN)

其中

  • N=floor(ωH/W),也就是 ωH/W的整数部分
  • M=ωHWN, 且 0M<1

最终 2W<ωs<4W

量化

均匀量化:

  • 最小量化间隔:ΔA=baM,最大值b,最小值a,M个量化区间
  • 最大量化误差:(Δq)max=ΔA/2
  • 量化信噪比:SoNo=M2

非均匀量化:

A律压缩曲线:

y={Ax1+lnA0<x1A1+Ax1+lnA1A<x1

采用13折线编码:A=87.6

量化信噪比:

  • 大信噪比时:SoNo=22Nb,Nblog2M
  • 小信噪比时:SoNo=14Pe, Pe为误码率

PCM编码

十三折线编码基本步骤

例题:对抽样值1268进行量化编码

编码结果是一个8位码 b7b6b5b4b3b2b1b0

  • 符号位 b7:1-正,0-负;1268为正数,则b7=1

  • 段落码 b6b5b4:根据下表判断该取哪个值,比如,抽样值为567,则512567<1024,则b6b5b4=110。抽样值为1268>1024,则b6b5b4=111

    抽样值 b6b5b4
    1024 111
    512 110
    256 101
    128 100
    64 011
    32 010
    16 001
    0 000
  • 段内码 b3b2b1b0:将对应区间分成均匀分为16份,比如抽样值为567,所在区间为[512, 1024),分成16份,每份大小为(1024-512)/16=32;题中给的抽样值 1268>1024,因此1268所在的区间为[1024, 2048),每份大小ΔA=(2048-1024)/16=64,则

    0000对应1024

    0001对应1024+64*1

    0010对应1024+64*2

    ...

    1111对应1024+64*15

  • 因为 1024+64*3=1216 < 1268 < 1024+64*4=1280,因此1268对应的 b3b2b1b0=0011

  • 综上,得到最终编码为 11110011

  • 误差计算

    • 采用起始电平为译码电平时,则实际上11110011对应1216,因此 误差=1268-1216=52
    • 通常采用中间电平为译码电平,即在原来的基础上加 ΔA/2,则1110011对应译码后应该为 1216+64/2=1248,因此最终【误差】=1268-1248=20

时分复用TDM

  • fs=2fm, Ts=12fm
  • 每个0、1信号占用时间:Tb=TsNbn, n代表几路信号进行复用
  • RB=1/Tb
  • 无码间干扰带宽:B=RB/2
  • 主瓣带宽:B=1/τ,τ表示码元宽度

不采用时分复用时:RB=Nbfs

第九章 差错控制编码

基本概念

码重:一个码中1的个数,如0011码重为2

对2个码求异或的结果中1的个数,即码距d0,如 0011+1000=1011,码距为3

检错与纠错的条件

  • d0e+1,可以检错e个码
  • d02t+1,可以纠错t个码
  • d0t+e+1et,可以检查出e个错,同时纠正其中t个错

线性分组码

对于一个(n, k)码,即n个码中有k个是信息码,r=n-k个监督码

  • 其编码效率为 k/n

  • 监督矩阵 H0=[P   Ir],其中 Ir代表单位矩阵,阶数为r,H0共n列,r行。(注:H0是典型化的矩阵,不是典型化需要进行【矩阵初等变化】,才能得到典型化的矩阵)

  • 生成矩阵 G0=[Ik   PT],其中 Ik代表单位矩阵,阶数为k,G0共n列,k行。(注:G0是典型化的矩阵,不是典型化需要进行【矩阵初等变化】,才能得到典型化的矩阵)

发送时使用的码组(系统码):A=[an1an2ank]×G0

【译码方式】

计算校正子 ST=HRTRT为接收码组的列向量

|ST|1=j,则 R 中从又往左数(0开始)第j个码发生错误,记得在回答时纠正过来

循环码

生成多项式 g(x) 的确定

  • g(x)最高次项为 xnk,常数项为1
  • 一般题目会给出许用码组,在许用的码组中找出一个码字,其中 ank左边的码均为0,第n-k个码ank为1,最右边的码a0为1,然后根据这个码的a1,a2,,ank1来判断g1,g2,,gnk1是多少。

证明g(x)是循环码(n,k)的生成多项式

  • 即证 xn1 能被 g(x) 整除

求码多项式A(x)

  • 先求监督多项式 r(x)xnkm(x)g(x)

  • A(x)=m(x)xnk+r(x)

    m(x)为信息码多项式

判断接收到的码多项式 R(x) 是不是码多项式

  • 利用所有码多项式均能被 g(x) 整除的性质

译码:ST=HRTS=RHT

第十章 数字信号的最佳接收

最大信噪比准则与匹配滤波器

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  • 输出噪声功率谱 Pno(ω)=no2|H(ω)|2, n0/2是输入高斯白噪声的功率谱密度函数Pni
  • 输出噪声总功率 No=12π+Pno(ω)dω
  • 输入信号功率 Ei=12π+|Si(ω)|2dω
  • 最大输出信噪比 romax=Ein0/2

根据 si(t) 计算匹配滤波器系统函数和冲击响应函数

  • h(t)=Ksi(t0t),通常取 K=1,t0=Tb
  • H(ω)=KSi(ω)ejωt0

输出信号计算: so(t)=KRsi(t0t)

匹配滤波器结构

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最小误码率准则与相关接收机

判决准则

P(s1)P(x|s1)>P(s2)P(x|s2) 则判断为s1, 否则为s2,相等时无法判断,误码率最大

相关接收机结构

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最佳接收机误码率

Pe=12erfc(Eb(1ρ)2n0)

其中,两个信号平均能量Eb=120T(s12(t)+s22(t))dt

相关系数 ρ=0Ts1(t)s2(t)dtEb

  • 当使用 双极性码,PSK发送时,ρ=-1
  • 当使用 单极性码,ASK或FSK发送时,ρ=0
  • ρ=1时,Pe=0.5,误码率最大

第十一章 同步原理

载波同步

  • 插入导频法
  • 直接提取法
    • 平方变换法(平方环法)
    • 同相正交环法

位同步

  • 外同步法
    • NRZ码:在ωb处插入导频
    • RZ码,在 ωb/2 处插入导频,然后2倍频即可得到 ωb
  • 自同步法
    • 模拟锁相环法
    • 带限整流法
    • 数字锁相环

帧同步

巴克码作帧同步码

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