CDQ分治学习笔记（三维偏序题解）

首先肯定是要膜拜CDQ大佬的。

题目背景

这是一道模板题

可以使用bitset，CDQ分治，K-DTree等方式解决。

题目描述

有 nn 个元素，第 ii 个元素有 a_iai​、b_ibi​、c_ici​ 三个属性，设 f(i)f(i) 表示满足 a_j \leq a_iaj​≤ai​ 且 b_j \leq b_ibj​≤bi​ 且 c_j \leq c_icj​≤ci​ 的 jj 的数量。

对于 d \in [0, n)d∈[0,n)，求 f(i) = df(i)=d 的数量

输入输出格式

输入格式：

 

第一行两个整数 nn、kk，分别表示元素数量和最大属性值。

之后 nn 行，每行三个整数 a_iai​、b_ibi​、c_ici​，分别表示三个属性值。

 

输出格式：

 

输出 nn 行，第 d + 1d+1 行表示 f(i) = df(i)=d 的 ii 的数量。

 

输入输出样例

输入样例#1： 复制

10 3
3 3 3
2 3 3
2 3 1
3 1 1
3 1 2
1 3 1
1 1 2
1 2 2
1 3 2
1 2 1

输出样例#1： 复制

3
1
3
0
1
0
1
0
0
1

怎么看三维偏序呢？

其实就是一个三维的逆序对，没有这么高大上。

回想二维逆序对（普通逆序对）的求解方法：

1、树状数组

利用树状数组的前缀和查询性质，把原数组离散化成相对大小，然后从后往前查询，插入

2、归并排序

归并排序（这和CDQ分治很像，非常像，甚至可以说：归并排序就是cdq分治求二维偏序）

于是，回到正题，三维逆序对，哦不，是三维偏序。

第一维把它排序（在二维逆序对里，第一维是排好序的）

第二维把它塞到归并排序里，去求满足二维的个数，如果满足，塞到树状数组里

第三维用树状数组维护前缀和，就像求二维逆序对那样直接找出来个数。因为经过了前两层的筛选，这一层统计的个数就是最终的答案。

对于CDQ来说，其实最难得部分就是怎么合并两个区间。

说起来非常简单吧。。。但是作为一直规避归并排序的我来说，还是有小小的问题的。。

塞代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1e6+10;
struct node
{
    int nth,a,b,c;
}a[maxn];
int n,k;
int f[maxn],same[maxn],t[maxn<<1],ans[maxn];
inline int lowbit(int x)//树状数组
{
    return x & - x ;
}
void add(int x,int y)
{
    for(;x<=k;x+=lowbit(x))
    {
        t[x]+=y;
    }
}
int ask(int x)
{
    int res=0;
    for(;x;x-=lowbit(x))
    {
        res+=t[x];
    }
    return res;
}
bool cmp1(node a,node b)//对第一维进行排序
{
    if(a.a!=b.a)return a.a<b.a;//第一关键字自然是第一个元素
    if(a.b!=b.b)return a.b<b.b;//第二关键字尽量保证(题目要求大于等于)
    else    return a.c<b.c;
}
bool cmp2(node a,node b)
{
    if(a.b!=b.b)return a.b<b.b;//归并时第二维进行排序
    if(a.c!=b.c)return a.c<b.c;
    else    return a.a<b.a;
}
void cdq(int l,int r)
{
    if(l==r)
    return;
    int mid=l+r>>1;
    cdq(l,mid);
    cdq(mid+1,r);
    sort(a+l,a+1+r,cmp2);//直接排序,下面计算答案贡献
    for(int i=l;i<=r;i++)
    {
        if(a[i].a<=mid)//如果元素小于mid就说明符合二维的偏序
        {
            add(a[i].c,1);//塞到树状数组里面
        }
        else
        {
            ans[a[i].nth]+=ask(a[i].c);//要不然就统计答案
        }
    }
    for(int i=l;i<=r;i++)
    {
        if(a[i].a<=mid)
        add(a[i].c,-1);这里还要更新回去,给下一个分治用(注意,不能用memset,太大了,而且上面的if一定要加,可以省去不少个log的复杂度)
    }
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&k);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d%d%d",&a[i].a,&a[i].b,&a[i].c);
        a[i].nth=i;//第一维
    }
    sort(a+1,a+n+1,cmp1);
    for(int i=1;i<=n;)
    {
        int j=i+1;
        while(j<=n&&a[i].a==a[j].a&&a[i].b==a[j].b&&a[i].c==a[j].c)
        j++;
        while(i<j)
        same[a[i++].nth]=a[j-1].nth;//去重
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        a[i].a=i;
    }
    cdq(1,n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    f[ans[same[a[i].nth]]]++;
    for(int i=0;i<n;i++)
    printf("%d\n",f[i]);
    return 0;
}