最大乘积——高精度乘法

乘积最大

Description

问题描述:
今年是国际数学联盟确定的“2000——世界数学年”，又恰逢我国著名数学家华罗庚先生诞辰90周年。在华罗庚先生的家乡江苏金坛，组织了一场别开生面的数学智力竞赛的活动，你的一个好朋友XZ也有幸得以参加。活动中，主持人给所有参加活动的选手出了这样
一道题目:


设有一个长度N的数字串，要求选手使用K个乘号将它分成K+1个部分，找出一种分法，使得这K+1个部分的乘积能够为最大。
同时，为了帮助选手能够正确理解题意，主持人还举了如下的一个例子：有一个数字串: 312，当N=3，K=1时会有以下两种分法：
1）3*12=36
2）31*2=62
这时，符合题目要求的结果是： 31*2=62
现在，请你帮助你的好朋友XZ设计一个程序，求得正确的答案。

Input

程序的输入共有两行:
第一行共有2个自然数N,K (6<=N<=40，1<=K<=6)
第二行是一个K度为N的数字串。

Output

结果显示在屏幕上，相对于输入，应输出所求得的最大乘积（一个自然数）。

Sample Input 

4 2
1231

Sample Output 

62
状态转移方程：
f[i][j]=max{f[i-1][m]*a[m..j]} i<=m<=j
f[i][j]代表前j个数用i个乘号连接得到的最大值，a[m..j]代表从a[]的第m个到第j个数字组成的数。转移方程不算难，但此题要用
高精度乘法。乘法有两种写法：一种是完全模拟乘法竖式的演算过程，另一种是通过总结规律得到的算法。下面列出两种程序的写法。
法一：
 
代码
  1 #include<stdio.h>
  2 #include<stdlib.h>
  3 #include<string.h>
  4 char f[7][41][2010],a[40],b[2000];
  5 int n,k,length[7][41];
  6 /*length[][]记录高精度数的长度*/
  7 int plus(char *p,int l1,char *q,int l2,int le)
  8 {
  9 int c,s=0,l;
 10 int i;
 11   for(i=l1-1;i>=0;i--)p[i+le]=p[i];
 12   for(i=0;i<le;i++)//对错位的处理：后移与前几位补0，因为数值是倒存的
 13   {
 14     p[i]='0';
 15     l1++;  
 16   }      
 17 if(l1>l2)l=l1;
 18 else l=l2;
 19 
 20    for(i=0;i<l;i++)
 21    {
 22     s+=p[i]+q[i]-2*'0';
 23     c=s%10;
 24     s/=10;
 25     q[i]=c+'0';
 26    }
 27          while(s!=0)
 28          {
 29          c=s%10;
 30          s/=10;
 31          q[i++]=c+'0';
 32          }
 33          
 34        return i;
 35 }
 36 
 37 int mul(char *p,int l1,int fr,int l2,char *q,int l3)
 38 {  
 39      int c,s=0;
 40      int i,j;
 41      char s1[40],s2[2000];//s1[]记录a[]中从fr开始，长度为l2的数
 42      for(i=0;i<l2;i++)
 43      s1[i]=a[l2+fr-i-1]; 
 44     for(i=0;i<l1;i++)//用s1[]的每一位乘以p[]的每一位，注意错位的
 45     if(p[i]!='0')//是0就不必乘了
 46   {
 47    memset(s2,48,sizeof(s2));
 48    for(j=0;j<l2;j++)
 49    {
 50     s+=(p[i]-'0')*(s1[j]-'0');
 51     c=s%10;
 52     s=s/10;
 53     s2[j]=c+'0';
 54    }
 55     while(s!=0)
 56     {
 57     c=s%10;
 58     s/=10;
 59     s2[j++]=c+'0';
 60     }
 61     l3=plus(s2,j,q,l3,i);//q[]中存每一位乘过后的值
 62    } 
 63         return l3;
 64 }
 65 
 66 
 67 int max(char *p,char *q,int l1,int l2)
 68 {
 69  if(l1>l2)return 1;
 70  else if(l2>l1)return 0;
 71  else
 72  {
 73  int i;
 74  for(i=l1-1;i>=0;i--)
 75  if(p[i]>q[i])return 1;
 76  else if(q[i]>p[i])return 0;
 77  return 0;         
 78  }   
 79 }
 80 
 81 int main()
 82 {
 83     FILE *in,*out;
 84     in=fopen("maxmu3.in","r");
 85     out=fopen("maxmu.out","w");
 86     int i,j,k,m,l1,l2,i1;
 87     fscanf(in,"%d %d",&n,&k);
 88     fscanf(in,"%s",a);
 89     
 90     memset(f,48,sizeof(f));//不能初始化为0，因为f[][][]是字符型，字符型0的ASCII码是48
 91     memset(length,0,sizeof(length));
 92     for(i=1;i<=n;i++)
 93    {
 94     for(j=0;j<i;j++)
 95     f[0][i][j]=a[i-j-1];
 96     length[0][i]=i;
 97    }
 98 
 99     for(i=1;i<=k;i++)
100     for(j=i+1;j<=n;j++)
101   {
102     length[i][j]=mul(f[i-1][i],length[i-1][i],i,j-i,f[i][j],length[i][j]);
103     for(m=i+1;m<=j;m++)
104      {
105       memset(b,48,sizeof(b));//每次都要初始化
106       l1=mul(f[i-1][m],length[i-1][m],m,j-m,b,0);
107       if(max(b,f[i][j],l1,length[i][j]))   
108       {
109       memset(f[i][j],48,sizeof(f[i][j]));//有必要先将f[i][j]清空
110       strcpy(f[i][j],b);
111       length[i][j]=l1;
112       }        
113      }
114    }
115                 
116       for(i=length[k][n]-1;i>=0;i--)
117       fprintf(out,"%c",f[k][n][i]);
118       fprintf(out,"\n");
119       fclose(in);
120       fclose(out);
121       return 0;
122 }






举例说明：123*456列为竖式计算是：


     1 2 3


*   4 5 6


————————


 


     7 3 8      ————由mul（）函数计算可得


  6 1 5


4 9 2 


————————

5 6 0 8 8  
最后将中间红色区的数加起来的工作就由plus()函数做了。注意plus（）还要处理错位。
法二：
代码
 1 int mul(int *p,int l1,int fr,int l2,int *q,int l3)
 2 {  
 3      int i,j;
 4      int c,s=0;
 5      int s1[40];
 6      
 7      for(i=0;i<l2;i++)
 8      s1[i]=a[l2+fr-i-1];
 9 
10    for(i=0;i<l1;i++)
11    for(j=0;j<l2;j++)
12    q[i+j]=q[i+j]+p[i]*s1[j];
13  
14     for(i=0;i<=l1+l2-2;i++)
15   {
16     c=(q[i]+s)%10;
17     s=(q[i]+s)/10;
18    q[i]=c;
19   }
20  
21   while(s!=0)
22  {
23   c=(q[i]+s)%10;
24   s=(q[i]+s)/10;
25   q[i++]=c;
26  }
27   return i;
28 }






 

注意法二已将字符串转化为了int型，其他没变。该方法是这样相乘的：
q[i+j]=q[i+j]+s1[j]*p[i];
最后再处理进位，显然比法一要简单多。
当然还有不用高精度的方法，也列出来了。
代码
 1 #include<stdio.h>
 2 #include<stdlib.h>
 3 #include<string.h>
 4 long f[7][41];
 5 char a[40];
 6 int n,k;
 7 
 8 int mul(int x,int f,int le)
 9 {
10     int i,s=0,m=1;
11     for(i=le-1;i>=0;i--)
12     { s+=(a[i+f]-'0')*m;
13       m*=10;
14     }
15       return s*x;
16     
17 }
18  int main()
19 {
20     FILE *in,*out;
21     in=fopen("maxmu1.in","r");
22     out=fopen("maxmu.out","w");
23     int i,j,k,m,sum;
24     long max;
25     char x;
26     fscanf(in,"%d %d",&n,&k);
27     fscanf(in,"%s",a);
28 
29     for(i=1;i<=n;i++)
30    {
31     sum=0;m=1;
32     for(j=i-1;j>=0;j--)
33     {
34      sum+=(a[j]-'0')*m;
35      m*=10;
36     }
37      f[0][i]=sum; 
38    }
39  
40          for(i=1;i<=k;i++)
41          for(j=i+1;j<=n;j++)
42         {
43            f[i][j]=mul(f[i-1][i],i,j-i);
44            for(m=i+1;m<=j;m++)
45           {
46             max=mul(f[i-1][m],m,j-m);
47             if(f[i][j]<max)
48             f[i][j]=max;
49           }
50          }
51  
52    fprintf(out,"%ld",f[k][n]);
53    fclose(in);
54    fclose(out);
55    return 0;
56 }
57 






 

状态转移还一样，只是这次可以直接乘，所以在数的存储处理上不必倒着存（上面两个完整程序中红色区域是对数的存储处理）。
posted @ 2010-08-05 15:03  Danty  阅读(672)  评论(0)  编辑  收藏  举报