hdu1024---最大m段不重合子序列和：策略优化

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1024（到这里提交）

Max Sum Plus Plus

Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 65536/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 4977    Accepted Submission(s): 1627

Problem Description

Now I think you have got an AC in Ignatius.L's "Max Sum" problem. To be a brave ACMer, we always challenge ourselves to more difficult problems. Now you are faced with a more difficult problem.

Given a consecutive number sequence S₁, S₂, S₃, S₄ ... S_x, ... S_n (1 ≤ x ≤ n ≤ 1,000,000, -32768 ≤ S_x ≤ 32767). We define a function sum(i, j) = S_i + ... + S_j (1 ≤ i ≤ j ≤ n).

Now given an integer m (m > 0), your task is to find m pairs of i and j which make sum(i₁, j₁) + sum(i₂, j₂) + sum(i₃, j₃) + ... + sum(i_m, j_m) maximal (i_x ≤ i_y ≤ j_x or i_x ≤ j_y ≤ j_x is not allowed).

But I`m lazy, I don't want to write a special-judge module, so you don't have to output m pairs of i and j, just output the maximal summation of sum(i_x, j_x)(1 ≤ x ≤ m) instead. ^_^

 

 

Input

Each test case will begin with two integers m and n, followed by n integers S₁, S₂, S₃ ... S_n.
Process to the end of file.

 

 

Output

Output the maximal summation described above in one line.

Sample Input

1 3 1 2 32 6 -1 4 -2 3 -2 3

Sample Output

68
Hint
Huge input, scanf and dynamic programming is recommended.
 

 最终程序代码：

 

#include<stdio.h>
 int m,n,a[1000001],ans;
 int f[1000001],sum[1000001],b[2][1000001];
 int main(){
    int i,j,k,i1,i2;
    while(scanf("%d%d",&m,&n)!=EOF)
{
    sum[0]=0;
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
    scanf("%d",&a[i]);
    sum[i]=sum[i-1]+a[i]; 
    }
    
    for(j=0;j<=n;j++)b[0][j]=0;————————前0个数分成j段的最大和为0
    for ( j = 0; j <=n; j++) b[1][j]= -2000000000; //已改动
    i1=1;ans=-2000000000;
    
    for(i=1;i<=m;i++)
   {  b[i1][j]每一次都应该初始化，因为空间是循环利用的
     b[i1][i-1]= -2000000000;                     //已改动
     for(j=i;j<=n;j++)——————从数字数不少于分段数的地方开始
    {
       if(i==j)f[j]=sum[j];
       else 
       {    
        f[j]=f[j-1]+a[j];
        if(f[j]<b[1-i1][j-1]+a[j])f[j]=b[1-i1][j-1]+a[j]; 
       }
       b[i1][j]=b[i1][j-1];
       if(b[i1][j]<f[j])b[i1][j]=f[j];
     }
        i1=1-i1;—————i1总是0-1交替变化
   }
       for(i=m;i<=n;i++)——————此时f[i]中存储前i个数分成m段得到的最大和
       if(ans<f[i])ans=f[i];
       printf("%d\n",ans);   
}
        return 0;
         }       

 

 

此题难在两点：1.找到状态转移方程；2.优化程序。

状态转移方程：f[i][j]=max{f[i-1][j],max{f[i-1][k]}}+a[j];         (i-1=<k<=j-1)

f[i][j]代表将前j个数分成i段可以得到的最大和，并且这i段中必须包括a[j].它可以由两个状态转移到：a[j]与其他数一起包含

到第j段中,所得到的最大和(f[i-1][j]+a[j]);a[j]独立成段，与前i-1个数分成的j-1段得到的最大和（max{f[i-1][k]}+a[j]）。

 

由于问题所涉及的规模实在太大，所以必须用滚动数组存储状态。同时设置sum[]数组，其中存储当i=j即分段数等于数字数时的

状态值，也就是所有j个数的和。主要代码见下：

    i1=1;
    ans=-(1<<30);
    for(i=1;i<=m;i++)
  {     
     for(j=i;j<=n;j++)
    {
       if(i==j)f[i1][j]=sum[j];
       else 
       {    
        f[i1][j]=f[i1][j-1]+a[j];
        for(k=i-1;k<=j-1;k++)
        if(f[i1][j]<f[1-i1][k]+a[j])f[i1][j]=f[1-i1][k]+a[j]; 
       }
     }
        i1=1-i1;
   }
   j=m%2;
   for(i=m;i<=n;i++)
   if(ans<f[j][i])ans=f[j][i];
   printf("%d\n",ans);

红色代码区就是上述转移状态的第二个状态。这个代码的效率不高，很大程度上是因为这个循环。优化办法如下：

设置一个数组b[i][j],它是滚动式的，用来存储前j个数划为i段得到的最大和，但不一定包括a[j]。这样转移方程就可以变

为这样： f[i][j]=max{f[i-1][j],b[i-1][j-1]}+a[j];

             b[i][j]=max{b[i][j-1],f[i][j]}

这样的话，在程序运行是就包含了两个转移方程，b[i][j]的值由两种状态转移可得：前j个数分为i段选a[j]得到的最大和(f[i][j])；

不选a[j]得到的最大和，即前j-1个数分为i段得到的最大和（b[i][j-1]）。此时f[i][j]还可以省去一维，变为f[j].最终优

化后的程序见最上部，还有若干细节问题在程序旁会有注释。