证明洗牌问题

问题背景：

有一副牌假设有N张，请设计一个随机洗牌算法。

解决方案：

这里只给出一个可以使用数学证明每张牌出现在任何位置概率为1/N的算法。

Poker[N]

for (i = 0; i < N; ++i)

{

k = rand() % ( i + 1)

if (i != k)

{

switch(Poker[k], Poker[i]);

}

}

 

分析：

第一次取第一张牌(i=0)保持位置不变。第二次取第二张牌(i=1)，随机生成0-1的随机数k，如果随机生成数不为1，则交换下标为k和i的牌，否则不进行交换。

假设现在取第Z张牌(i = Z - 1)， k= rand()%Z, 如果k!=i则交换下标为k和i的两张牌。

这个算法粗看起来有点像蓄水池抽样的操作方法。这样我们来看一下每张牌出现位置的概率。

 

第一次计算时第一张牌(i=0)出现在第一个位置的概率为1。

第二次计算时第二张牌(i=1)很明显出现在两个位置中的概率都是1/2。

我们就是要证明第Z（Z<=N)次计算时每张牌出位位置的概率为1/Z。

下面采用归纳法来证明。

1. 很明显Z=1时结论成立。

2. 假设当Z = K时结论也成立。

当Z=K+1时，易知第Z张牌出现在任意位置的概率为1/Z。

前K个数能够保留当前位置的概率为（1 - 1/(K+1)), 那么任意一张牌出现在任意位置的概率为(1/K) *（1 - 1/(K+1)) = 1/(K+1)。

3. 同样当Z=N时该算法也成立。