最大间距问题

给定n个实数x1，x2，…xn，求这n个数在实轴上相邻两个数之间的最大差值，要求设计线性的时间算法。

 

最容易想到的是先对n个数据进行排序，然后一边扫描即可确定相邻的最大间隙。但该方法不能满足线性时间的要求。故采取如下方法：

1.       找到n个数据中最大和最小数据maxnum和minnum；

2.       用n—2个点等分区间[minnum, maxnum]，即将[minnum, maxnum]等分为n-1个区间（前闭后开区间），将这些区间看做桶，编号为1，2，…n-1,且桶i的上界和桶i+ 1的下界相同，即每个桶的大小相同；

每个桶的大小： space = (maxnum - minnum) / (n - 1)，且人为地将minnum放入第1个桶，将maxnum放入第n-1个桶；

3.     编程实现中，用以下数据结果存放有关桶的数据：

 int *count=new int[n];  //实际分到每个桶的数据个数

double *low=new double[n]; //实际分到每个桶的最小数据

double *high=new double[n]; //实际分到每个桶的最大数据

4.    将n个数放入n-1个桶中：

 按如下规则将x[i]分配到某个桶(编号index)中：  index=int((data[i]-minnum)/space)+1；

若x[i]=minnum，则被分到第1个桶中(minnum即为桶1的下界)；

若x[i]=桶j的下界(也是桶j-1的上界)，则被分到桶j中(j>=1)；

若x[i]=maxnum，则被分到桶n中(max为桶n的下界桶n-1的上界)，但没有桶n，解决办法：

可人为将其移入桶n-1中或者再加一个桶，这并不影响求其最大间隙；

调整分到该桶的最大最小数据；

 count[location]++;  //有数据存入，计数值加1 
         if(data[i]<low[location]) //如果数据比左端值小，则作为左端值 
             low[location]=data[i];
         if(data[i]>high[location]) //如果数据比右端值大，则作为右端值 
             high[location]=data[i];

5.    求最大间隙：

除最大最小数据maxnum和minnum以外的n-2个数据被放入n-1个桶中，由抽屉原理可知至少有一个桶是空的；又因每个桶的大小相同，所以最大间隙不会在同一桶中出现；

一定是某个桶的上界(dblHigh)和其后某个桶的下界(dblLow)之间隙，且该两桶之间的桶(即编号在该两桶编号之间的桶)一定是空桶；即最大间隙在桶i的上界和桶j的下界之间产生(j>=i+1)；

#include<iostream>
using namespace std;

double findmin(double data[], int n)
{
    int index;
    double minnum = data[0];
    for(int i = 1; i < n; i ++){
        if(data[i] < minnum){
            minnum = data[i];
            index = i;    
        }    
    }
    return minnum;    
}

double findmax(double data[], int n)
{
    int index;
    double maxnum = data[0];
    for(int i = 1; i < n; i ++){
        if(data[i] > maxnum){
            maxnum = data[i];
            index = i;    
        }    
    }    
    return maxnum;
}

void init(int count[], double low[], double high[], int n, double minnum, double maxnum)
{
    for(int i = 1; i < n; i ++){
        count[i] = 0;
        low[i] = maxnum;
        high[i] = minnum;    
    }    
}

void datain(double space, int count[], double low[], double high[], int n, double data[], double minnum)
{
    for(int i = 1; i < n; i ++){
        int location = (int)((data[i] - minnum) / space) + 1;    
        if(location == n){
            location --;    
        }
        count[location] ++;
        if(data[i] < low[location]){
            low[location] = data[i];    
        }
        if(data[i] > high[location]){
            high[location] = data[i];    
        }
    }    
}

double findMaxGap(int n, double low[], double high[], int count[])
{
    double maxgap = 0;
    double dhigh = high[1];
    for(int i = 2; i < n; i ++){
        if(count[i]){
            double tmp = low[i] - dhigh;
            if(tmp > maxgap){
                maxgap = tmp;    
            }    
            dhigh = high[i];
        }    
    }
    return maxgap;
}

int main()
{
    const int n = 10;
    double data[n] = {1.0, 2.0,3.0,5.0,6.0,7.0,10.0, 20.0, 22.0, 100.0};
    double minnum, maxnum;
    double space, maxgap;
    double low[n], high[n];
    int count[n];
    minnum = findmin(data, n);
    maxnum = findmax(data, n);
    space = (maxnum - minnum) / (n - 1);
    init(count, low, high, n, minnum, maxnum);
    datain(space, count, low, high, n, data, minnum);
    cout << findMaxGap(n, low, high, count) << endl;
    system("pause");
}