并查集

并查集：(union-find sets) 是若干个不相交集合，能够实现较快的合并和判断元素所在集合的操作，应用很多，如其求无向图的连通分量个数等。最完美的应用当属：实现Kruskal算法求最小生成树。

并查集的精髓：

1、make_set(x) 把每一个元素初始化为一个集合

初始化后每一个元素的父亲节点是它本身，每一个元素的祖先节点也是它本身（也可以根据情况而变）。

2、find_set(x) 查找一个元素所在的集合（有两种方法：朴素查找和采用路径压缩的方法查找，其中路径压缩有递归和非递归）

查找一个元素所在的集合，其精髓是找到这个元素所在集合的祖先！这个才是并查集判断和合并的最终依据。判断两个元素是否属于同一集合，只要看他们所在集合的祖先是否相同即可。

3、Union(x,y) 合并x,y所在的两个集合：
利用Find_Set找到其中两个集合的祖先，将一个集合的祖先指向另一个集合的祖先。

并查集的优化

1、find_set(x)时 路径压缩
寻找祖先时我们一般采用递归查找，但是当元素很多亦或是整棵树变为一条链时，每次find_set(x)都是O(n)的复杂度，因此需要路径压缩，即当我们经过"递推"找到祖先节点后，"回溯"的时候顺便将它的子孙节点都直接指向祖先，这样以后再次find_set(x)时复杂度就变成O(1)了，路径压缩方便了以后的查找。

2、Union(x,y)时按秩合并
即合并的时候将元素少的集合合并到元素多的集合中，这样合并之后树的高度会相对较小。

const int size = 100;
int father[size];
int rank[size];

//把每个元素初始化为一个集合 
void makes_set()
{
    for(int i = 1; i <= n; i ++){
        father[i] = i;    
        rank[i] = 1;
    }    
    return ;
} 

//查找一个元素所在的集合，找到这个元素所在集合的祖先，这
//是并查集判断和合并的最终依据。判断两个元素是否属于同一个集合，只要看它们所在集合的祖先是否相同 
int find_set(int x)
{
    if(x != father[x]){
        father[x] = find_set(father[x]);    
    }    
    return father[x];
}

//非递归路径压缩 
int find_set(int x)
{
    int r = x;
    while(r != father[r]){ //查找根节点 
        r = father[r];        //找到根节点，用r记录 
    } 

    int k = x;
    while(k != r){  //非递归路径压缩 
        j = father[k];  //用j暂存k的父节点 
        father[k] = r;  //k指向根节点 
        k = j;  //k移到父节点 
    }
    return r;  //返回根节点的值   
}

//利用find_set找到两个集合的祖先，将一个集合的祖先指向另一个集合的祖先 
void Union(int x, int y)
{
    x = find_set(x);
    y = find_set(y);
    if(x == y){
        return ;    
    }    
    if(rank[x] < rank[y]){
        father[x] = y;    
    }
    else{
        if(rank[x] == rank[y]){
            rank[x] ++;
        }
        else{
            father[y] = x;    
    }
    return ;
}