稀疏学习之设计字典

稀疏信号的一个最重要的部分就是字典A。那么选择A？怎么样选择才是合理？

一、字典的选择和学习

如何选择合适的字典，一种基本的方法是选择预定义的字典，如无抽样小波、可操纵小波、轮廓博、曲波，等等。近期很多学者提出来主要针对图像的字典，特别是类似于“卡通”的图像内容，假设分段平滑并具有平滑边界。

这些提出的字典附有详细的理论分析，能够对简单信号建立稀疏表示系数。一个典型的应用时M项近似衰减率——用M个最佳的非零系数表示信号。

另一种选择字典的方法是可调节的——通过在特定参数（连续或者离散的）控制下生成基或帧。两个最熟知的例子就是小波包和Bandelets.

尽管预定义和自适应的字典通常具有较快的变换速度，他们无法处理稀疏信号，并且，这些字典限制于特定类型的图像和信号，无法应用于新的，任意类型的信号。因此我们需要寻找克服这些限制的新方法——通过一种学习的观点。

基于学习的方法首先需要构建一个训练信号集，然后构建一个经验学习字典，即通过经验数据中生成潜在的原子，而不通过理论模型。这样的字典可以实际应用，作为固定或冗余字典。

与预定义和自适应的字典不同，学习字典能够适用于符合稀疏场定义的任何类型的信号。然而，这将带来更重的计算负担，且只能应用于低维信号（至少目前为止是这样的）这是为什么这种方法只能应用于图像块。

二、字典学习算法

下面我们讨论如何用学习算法构建A，加收训练集已给出，且已知它是由未知的稀疏场模型生成的，这个训练集能否定义唯一的生成模型，并选择特定的字典A？这个问题比较复杂，由Field和Oishausen于1996年提出。

这里，我们介绍两个机制，第一个叫优化方向法（MOD）,由Engan提出，第二个叫K-SVD，由Aharon提出。

1.字典学习的核心内容

假设模型的偏差已知，我们的目的是估计A。考虑如下的优化问题：

2.MOD算法

显然，没有一种通用的算法可以求解（12.1）和（12.2），和我们无法求解（P0）的原因类似。然而，没有理由我们不去寻找一个启发式算法，并研究它在特殊情况下的执行表现。

我们可以将（12.1）看成一种嵌套最小化策略：在第k步，我们利用第k-1步得到字典A（k-1）,对数据库中的M个实例yi求解对应的：这可以得到矩阵，然后我们通过最小二乘法求解：

这里我们使用了Frobenius范数来评价误差（矩阵的F范数为矩阵中所有元素的平方和的平方根）。允许对获得的字典的元素进行缩放。递增k并重复上述循环，直到满足收敛准则。这样的块坐标松弛算法首先由Engan提出，称为最优方向法（Method of Optimal Direction,MOD）,这个算法描述如图12.1

以下是本人对MOD算法的理解

1，匹配追踪算法

在分析该算法前，先介绍下匹配追踪算法

匹配追踪最早是时频分析的分析工具，目的是要将一已知讯号拆解成由许多被称作为原子讯号的加权总和，而且企图找到与原来讯号最接近的解。其中原子讯号为一极大的原子库中的元素。以数学式子表示可以得到:

$f(t) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n g_{\gamma_n}(t)$

其中， $a_n$ 是权重， $g_{\gamma_n}$ 是由字典D中获得的原子讯号。

如同傅立叶级数将一讯号拆解成一系列的正弦波的相加，其中每个成分拥有不同的系数作为权重，其数学式子如下:

$f(x) = \sum_{n=-\infty}^ \infty c_n e^{inx}.$

而匹配追踪也具有将讯号拆解成一系列原子相加的意涵，而甚至可以使用匹配追踪去描述傅立叶级数，也就是原子库对应到的所有正弦函数的集合

2.贪婪算法

为了找到最符合原讯号的一组原子加权总合，如果对原子库进行所有组合的尝试过于耗费时间。在1993年由Mallat S和Zhang Z的论文[1]中，提出了一个贪婪算法(Greedy Algorithm)，并大幅降低找出近似解的时间。其作法首先在原子库中寻找与原讯号内积结果最大的原子，找到此讯号以及其内积结果 $a_n$ 之后再将原讯号减掉 $a_n g_{\gamma_n}$ 作为下一次重复运算的原始讯号，如此反复做下去即可得到一系列的 $a_n$ 以及原子，直到达到停止条件为止，其详细的算法如下: