最值问题

常考题型：

1.最值思维：目前是考查最多的。
2.数列构造：考查相对较少。
3.最不利构造：考查相对较少
4.均值不等式
5.此消彼长

经典题目：

1.某学校举办知识竞赛，共设 50 道选择题，评分标准是：答对 1 题得 3 分，答错 1 题扣 1 分，不答的题得 0 分。若王同学最终得 95 分，则他答错的选择题最多有. A:12 B:13 C:14 D:15

解析：设答对x，答错y, 不答 z。 列式子： 3x - y  = 95 , x+ y + z =50 。三元方程式，先消元，因为求得是y，所以保留y ，如果是消 x，得到： 4y + 3z = 55  。可以看出z最小的时候 y最大，先看0行不行。带入求得不是整数排除 ，1可以。所以 z =1，y = 52/4 = 13 。 答案是13.

总结：这种题目一般就是设未知数，列式子。然后根据思维进行判断赋值。

 

2：21 朵鲜花分给五个人，每人分到的都是整数且各不相同，则分得最多的人最多为？则分得最多的人最少为？

解析：数列构造类型。设最多的为x，因为各不相同。所以其他人最少，x就最大。其他应该是1+2+3+4 。多以最多是11。 要最多分的最少，那应该是x,x-1,x-2,x-3,x-4 。 所以是x+ x-1 + x-2 +x-3 +x -4 = 21 。解得x = 6.2 ，最少向上取整所以是7.
 总结：：排序定位（求谁设谁）——构造数列（反向推其他）——加和求解

3.有 6 种颜色的小球，数量分别为 4，6，8，9，11，10，将它们放在一个盒子里，那么，拿到相同颜色的球最多需要的次数为：

解析：最不利构造。最不利，说明是最极端的情况。 每次都拿到不一样的总共有六次，再拿一次肯定有相同的了。所以答案是7

4.某贸易公司有三个销售部门，全年分别销售某种重型机械38台、49台和35台，问该公司当年销售该重型机械数量最多的月份，至少卖出了多少台？

解析：总销量 = 38 + 49 + 35  =122 。 12个月平均10个余2，所以最多的月份至少买10 +1 = 11

总结：善用平均数

5.阅览室有100本杂志，小赵借阅过其中75本，小王借阅过70本，小刘借阅过60本，则三人共同借阅过的杂志最少有（）本

解析：官方解法：反向-求和-做差”，①反向：三个人没有借阅过的杂志分别是本、本、本；②求和：要让共同借阅的杂志最少，就让没有借阅过的杂志不重复，三者相加一共本；③做差：所以三人共同借阅的杂志最少为本。

自己的： 先看小赵和小王 。 如果小赵没借过的都在小王借阅里面。那两人共同就是 70 -25 = 45。然后小刘没阅读过的40本都在这45里面。所以至少有5本是三个一起的。

总结：反向构造

6.某工厂有100名工人报名参加了4项专业技能课程中的一项或多项。已知A课程和B课程不能同时报名，如果按照报名参加的课程对工人进行分组，将报名参加的课程完全一样的工人分到同一组中，则人数最多的组最少有多少人：

 解析：要想人数最多的组最少，说明分的组越多人越少。 所以结合排列组合看最多能分多少组。 选一项的。C(4,1) = 4, 选两项 C(4,2) -1(因为AB不能同事参加） = 5  ，选三项目：C(2,1)  = 2(分有A和有B两种情况），选4项不可能 。所以最多是11组，每组人数是100 / 11  =  9.1 。求最少。所以是10人。

总结： 和排列组合结合

7.均值不等式

例如 125x + 18000 / x = y,  求x等于几，y最小。 解： 当125x = 18000/x 的时候y最小。

8.此消彼长

1.例如： 3x+7y=71， 求y 等于几，x最大。当然y如果有限制条件的话就从0开始带入，知道找到y的最小值。

2.（A+nX）*（B-nX)  ，A,B，n都是已知数，那他的结果就是两个括号的值都为零的时候求出的x1，x2的平均数最大。然后X等于x1+x2 再除以2。这种题目可以已坑制坑，找到答案的两倍关系。