hiho42 : 骨牌覆盖问题·二
描述
上一周我们研究了2xN的骨牌问题,这一周我们不妨加大一下难度,研究一下3xN的骨牌问题?
所以我们的题目是:对于3xN的棋盘,使用1x2的骨牌去覆盖一共有多少种不同的覆盖方法呢?
首先我们可以肯定,奇数长度一定是没有办法覆盖的;对于偶数长度,比如2,4,我们有下面几种覆盖方式:
输入
第1行:1个整数N。表示棋盘长度。1≤N≤100,000,000
输出
第1行:1个整数,表示覆盖方案数 MOD 12357
样例输入
62247088
样例输出
4037
提示:3xN骨牌覆盖
在2xN的骨牌覆盖问题中,我们有递推式子 (0,1)xM^n=(f[n-1],f[n])。
我们考虑能否在3xN的情况下找到同样的式子。
但在实际的推导过程可以发现,对于3xN的覆盖,对应的f数值公式比2xN复杂太多。我们需要换个角度来思考推导公式。
在我们放置骨牌的过程中,一定是放好一行之后再放置下一行。根据摆放的方式,可能会产生很多种不同的形状,而这些形状之间是否具有某些递推关系呢?
如果他们存在一定的递推关系,则我们可以根据第i行的方案数来推导第i+1行的方案数。这样一行一行推导,直到第N行时不就得到了我们要求的方案数了么?
那么来研究一下是否存在这样的推导公式吧
假设我们已经放好了一些骨牌,对于当前最后一列(第i列)骨牌,可能有8种情况:
对于上面这8种状态,我们用数字来标记它们。以有放置骨牌的格子为1,未放置为0,转化为2进制数
以最下面一行作为1,则有:
接下来考虑如何放置骨牌,我们先将棋盘旋转一下。假设我们正在放置第i行的骨牌,那么会有下面3种方式:
灰色表示已经有的骨牌,绿色表示新放置的骨牌。
每一种放置方法解释如下,假设当第i行的状态为x,第i-1行的状态为y:
- 第i行不放置,则前一行必须有放置的骨牌。x对应二进制位为0,y对应二进制位为1。
- 第i行竖放骨牌,则前一行必须为空。x对应二进制位为1,y对应二进制位为0。
- 第i行横向骨牌,则前一行必须两个位置均有骨牌,否则会产生空位。x对应二进制位为1,y对应二进制位为1。
举个例子:
![week42_4.PNG](http://media.hihocoder.com/problem_images/20150418/14293404046915.png)
对于第i行状态1,我们在第i+1行竖放两块骨牌之后便能到达状态6。
但是在这之中需要注意会出现下面这种情况:
![week42_4_2.PNG](http://media.hihocoder.com/problem_images/20150418/14293404045844.png)
这种情况看似是从状态1变成了状态0,其实是不对的。它不满足我们约定的放置方法,本质是第i行的状态1变成了第i行的状态7,而实际上我们应该放置的是第i+1行。
所以在枚举递推关系的时候一定要注意。
通过枚举8种状态到8种状态的转移,我们可以得到一个8x8的矩阵M(空白的地方均为0):
![week42_5.PNG](http://media.hihocoder.com/problem_images/20150418/14293404047166.png)
m[i][j]表示从状态i变成状态j的方案数。
现在我们有了M矩阵,接下来考虑边界情况。
在2xN的骨牌覆盖中,有(0, 1)作为初始向量A,那么在3xN中初始向量A是如何呢?
让我们先想想A向量所代表的含义。M矩阵表示状态到状态的转移,则A向量所表示的应该就是第0行各状态的方案数。
同理,对于A * M^n所求出的结果则应该表示为第n行各种状态的方案数。
那么A向量应该是多少呢?很显然,第0行在我们递推的过程中必须看作状态7才合理。故A向量表示为:
{0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1}
而对于我们寻求的答案,自然也是第n行放置为状态7的方案数了。
#include <iostream> using namespace std; typedef long long ll; const int M = 12357; struct Matrix { int m[8][8]; Matrix() { for(int i=0; i<8; i++) { for (int j=0; j<8; j++) { m[i][j]=0; } } for(int i=0; i<8; i++) { m[i][7-i]=1; } m[3][7]=1; m[7][3]=1; m[6][7]=1; m[7][6]=1; } Matrix operator*(Matrix& a) { Matrix res; for (int i=0; i<8; i++) { for (int j=0; j<8; j++) { res.m[i][j]=0; for (int k=0; k<8; k++) { res.m[i][j]=(res.m[i][j] + (ll)m[i][k]*a.m[k][j])%M; } } } return res; } }; Matrix pow(Matrix m, int n) { Matrix res; if(1==n) return m; res = pow(m, n/2); if(n%2==1) res = res*res*m; else res = res*res; return res; } int main() { int N; cin>>N; Matrix mat; mat = pow(mat, N); cout<<mat.m[7][7]; return 0; }