P3401 洛谷树
分析
很有意思的题目，我们来从头分析。
查询操作
首先不难分析，为了要求一段路径的异或值，我们采用类似前缀和的方式，预处理出来，从根节点到每个节点的边权异或值。将该数组设为sum
这样，我们想求u,v之间路径的异或值时，只需要求sum[u] ^ sum[v] 就可以得到从u-v之间的路径异或值。
但是，题目要求的是求u-v路径中的所有子路径的异或值的和。这就很麻烦了。
我们不难想到第一步转化，因为我们预处理的从根节点到任意节点的异或值。因此u-v路径中的所有子路径的异或值的和转化为了u-v之间任意两点的sum的异或值的和。接下来我们思考如何快速的算出转化后的问题。此时我们注意到异或的重要特点，即每一位的独立性，每一位我们都可以进行独立的计算
因此，我们想到了第二步转化，将u-v之间任意两点的sum的异或值的和转化为枚举每一位，u-v任意两点之间sum的异或值该位为1的数量
此时几乎就已经解决了，接下来我们想想如何求转化完的最后问题。
因为异或值为1一定是由一个0与一个1组成，因此最后的问题，即为求枚举每一位，对于从u-v中的所有异或值，该位为1的数量，以及该位为0的数量，两者相乘即为该位为1的所有异或值数量
这样就解决了。我们可以用树剖+线段树解决。另外其中，用到了一个小技巧，在Can you answer these queries III，求区间最大子段和中用到过。我们返回的时候，需要返回时很多值，因此可以直接返回结构体。将push操作单独写出来即可。详情见代码。
另外，我需要特意强调一下免得有人跟我一样犯蠢的错误。
这题，我们虽然操作的是边权，并且也将边权化了点权。但树中每个节点利用的值是到该点的路径异或值，因此我们需要操作的就是每个节点，不需要考虑找到LCA后，还要将id[LCA]+1
修改操作
这个就比较简单了。我们设原值为w[u]，要修改为的值为y。枚举每一位，如果对于该位w[u]与y不相同，则在u的子树下的所有值的sum的当前位都要取反
for(int i=0;i<10;i++)
if(((w[u]^y)>>i)&1)
modify(1,id[u],id[u]+sz[u]-1,i);
Ac_code
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 3e4 + 10;
struct Node
{
int l,r,tag,num0,num1;
}tr[N<<2][12];
int h[N],e[N<<1],ne[N<<1],w[N<<1],idx;
int sz[N],son[N],fa[N],dep[N];
int top[N],id[N],nw[N],val[N],sum[N],ts;
int n,m;
void add(int a,int b,int c)
{
e[idx] = b,ne[idx] = h[a],w[idx] = c,h[a] = idx++;
}
void dfs1(int u,int pa,int depth)
{
sz[u] = 1,fa[u] = pa,dep[u] = depth;
for(int i=h[u];~i;i=ne[i])
{
int j = e[i];
if(j==pa) continue;
sum[j] = sum[u]^w[i];
val[j] = w[i];
dfs1(j,u,depth+1);
sz[u] += sz[j];
if(sz[j]>sz[son[u]]) son[u] = j;
}
}
void dfs2(int u,int tp)
{
top[u] = tp,id[u] = ++ts;
nw[ts] = sum[u];
if(!son[u]) return ;
dfs2(son[u],tp);
for(int i=h[u];~i;i=ne[i])
{
int j = e[i];
if(j==fa[u]||j==son[u]) continue;
dfs2(j,j);
}
}
void push(Node &u,Node l,Node r)
{
u.num0 = l.num0 + r.num0;
u.num1 = l.num1 + r.num1;
}
void pushup(int u,int k)
{
push(tr[u][k],tr[u<<1][k],tr[u<<1|1][k]);
}
void pushdown(int u,int k)
{
auto &root = tr[u][k],&left = tr[u<<1][k],&right = tr[u<<1|1][k];
if(root.tag)
{
swap(left.num1,left.num0);
left.tag ^= 1;
swap(right.num1,right.num0);
right.tag ^= 1;
root.tag = 0;
}
}
void build(int u,int l,int r,int k)
{
tr[u][k] = {l,r,0,0,0};
if(l==r)
{
if((nw[l]>>k)&1) tr[u][k].num1 = 1;
else tr[u][k].num0 = 1;
return ;
}
int mid = l + r >> 1;
build(u<<1,l,mid,k),build(u<<1|1,mid+1,r,k);
pushup(u,k);
}
Node query(int u,int l,int r,int k)
{
if(l<=tr[u][k].l&&tr[u][k].r<=r) return tr[u][k];
pushdown(u,k);
int mid = tr[u][k].l + tr[u][k].r >> 1;
Node res = {0,0,0,0,0};
if(l<=mid) push(res,res,query(u<<1,l,r,k));
if(r>mid) push(res,res,query(u<<1|1,l,r,k));
return res;
}
void modify(int u,int l,int r,int k)
{
if(l<=tr[u][k].l&&tr[u][k].r<=r)
{
swap(tr[u][k].num1,tr[u][k].num0);
tr[u][k].tag ^= 1;
return ;
}
pushdown(u,k);
int mid = tr[u][k].l + tr[u][k].r >> 1;
if(l<=mid) modify(u<<1,l,r,k);
if(r>mid) modify(u<<1|1,l,r,k);
pushup(u,k);
return ;
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
memset(h,-1,sizeof h);
for(int i=0;i<n-1;i++)
{
int a,b,c;scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
add(a,b,c),add(b,a,c);
}
dfs1(1,-1,1);
dfs2(1,1);
for(int i=0;i<10;i++) build(1,1,n,i);
while(m--)
{
int op,u,v,c;
scanf("%d%d%d",&op,&u,&v);
if(op==1)
{
LL res = 0;
int ub = u,vb = v;
for(int i=0;i<10;i++)
{
u = ub,v = vb;
Node t = {0,0,0,0,0};
while(top[u]!=top[v])
{
if(dep[top[u]]<dep[top[v]]) swap(u,v);
push(t,t,query(1,id[top[u]],id[u],i));
u = fa[top[u]];
}
if(dep[u]<dep[v]) swap(u,v);
push(t,t,query(1,id[v],id[u],i));
res += (1ll<<i)*t.num1*t.num0;
}
printf("%lld\n",res);
}
else
{
scanf("%d",&c);
if(dep[u]<dep[v]) swap(u,v);
for(int i=0;i<10;i++)
if(((c^val[u])>>i)&1)
modify(1,id[u],id[u]+sz[u]-1,i);
val[u] = c;
}
}
return 0;
}
