hdu 1729

HDU 1729 Stone Game(经典题)  

2012-04-04 17:18:08|  分类： 博弈论|举报|字号 订阅

 原文地址：http://qianmacao.blog.163.com/blog/static/2033971802012343334856/

博弈SG函数问题、寻找必败态

题目大意：（取石子游戏）有n个箱子，体积为Si，当前箱子里的石子数为Ci。两个人轮流往箱子里放石子，而且每一次放是数量都有限制，不能超过当前箱子内石子数的平方。例如箱子里有3颗石子，那么下一个人就可以放1~9颗石子，直到箱子被装满。当有一方放不下石子时游戏结束，最后放不下石子的人输。

算法分析：

 

PS：SG(X)=mex(SG(X->Y1),SG(X->Y2),SG(X->Y3),...........,SG(X->YN));是y1 ,y2 ,y3......的SG值取mex；而不是对（Y1，Y2，...YN）取mex;

http://blog.163.com/scuqifuguang@126/blog/static/171370086201101711276278/这个文章很不错。

那么对于这题对于每一堆，放石子放满就想当于满的时候取s-c个，反向只是让我理解题意更深。

首先我们知道（S，S）这个局面是必败局面。

对于每一堆能加的数量有限，而当c的值（大于或者等于）D=sqrt(s) 或者 D=sqri（s）+1的时候就可以一次完成，就是说可以从当前局面到达（S，S）的局面，所以当前局面是必胜局面。

而这种情况下，你能造成的局面有集合A={0,1,2,...,s-c-1}；因为你可以去s-c，s-c-1，s-c-2，.....，1；那么对应mex(x)函数（即A中未出现的最小的一个数字），那么自然该局面的SG值就是s-c了；

另外当c的值小于D的时候，是不可能一下子加满的，因为c*c+c绝对是小于s的；那么小于D的局面一定能够是必输的吗？很显然不是的。

对于（S，D-1）这个局面，一定是必输，因为他能到的局面都是必胜！现在c小于D，那么如果（S，C）这个局面能到（S，D）；就代表这个局面是必胜的。所以现在SG值要在新集合（D，C）中求，而求法与上面的相同求新的D，所以可以用递归函数：当C>D时，返回（S-C）

差不多就是这样。

其实D = sqrt(s);这里算是个加速，要不然就要：while(d*d+d < S) d++;这样会很慢的。

 

思路：这题明显的sg函数。可惜我纠结了半天没想起思路来。设当前的箱子容量为si，求出一个t满足：t + t * t < si，若是当前箱子里有ci颗石头，

         1、ci > t 则必胜；

         2、ci == t 则必败；

         3、ci < t不可立即断定，将t作为si递归调用函数。

当满足ci > t时，return si - ci 作为当前状况的sg值。因为：

如图：

当ci在si点时，为有向图的端点，出度为0，也就是必败点，所以sg值为0；

当ci 位于si - 1时，ci的端点可能的sg值构成的凑集为{0}，所以当前sg值 为1；

当ci 位于si - 2 时，ci的端点可能的sg值构成的凑集为{0， 1}，所以当前的sg值为2；

可得，ci地点地位的sg值为si - ci；

代码如下：

#include<iostream>
#include<string>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<queue>
#include<stack>
#include<set>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<stdlib.h>
#include<math.h>
using namespace std;
#define ll __int64
int getsg(int s,int d){
    int q=(int)sqrt(s*1.0);
    while(q+q*q>=s) q--;
    if(d>q) return s-d;
    else return getsg(q,d);
}
int main(){
    int n,cas=0;
    while(cin>>n,n){
        int ans=0;
        while(n--){
            int a,b;scanf("%d%d",&a,&b);
            if(a==0||b==0||a==b) continue;
            ans^=getsg(a,b);
        }
        printf("Case %d:\n",++cas);
        if(ans) cout<<"Yes"<<endl;
        else cout<<"No"<<endl;
    }
}