数学:母函数
把离散数列和幂级数一 一对应起来
把离散数列间的相互结合关系对应成为幂级数间的运算关系
最后由幂级数形式来确定离散数列的构造
以上三句话是dalao总结的精髓
然后介绍一下定义:
对于任意数列
![](https://gss1.bdstatic.com/9vo3dSag_xI4khGkpoWK1HF6hhy/baike/s%3D86/sign=d086e2ec5082b2b7a39f34c233addbcd/738b4710b912c8fcb20c8c25f5039245d788215e.jpg)
即用如下方法与一个函数联系起来:
为了便于理解这个东西,下面给出几种典型应用:
使用母函数求出斐波那契数列的通项公式
斐波那契数列的生成函数: G(x)=x+x2+2x3+3x4+5x5+8x6... 等式两边同时*x有: xG(x)=x2+x3+2x4+3x5+5x6+8x7+... 相加有:G(x)+xG(x)=x+2x2+3x3+5x4+8x5+13x6+... G(x)+xG(x)=G(x)/x-1 所以我们可以得到:G(x)=x/(1-x-x2) 然后用数学方法可以求得: Fib(n)=1/√5[bn+1-an+1]
若有1克、2克、3克、4克的砝码各一 枚,能称出哪几种重量?各有几种可能方案?
用x的指数表示称出的重量 1个1克的砝码可以用函数1+x表示 (前面的这个1表示1克的砝码个数为0) 1个2克的砝码可以用函数1+x^2表示 1个3克的砝码可以用函数1+x^3表示 1个4克的砝码可以用函数1+x^4表示 那么几种砝码的组合情况的用乘积表示有 (1+x)(1+x^2)(1+x^3)(1+x^4) =1+x+x^2+2x^3+2x^4+2x^5+2x^6+2x^7+x^8+x^9+x^10 系数即为方案数
求用1分、2分、3分的邮票贴出不同数值的方案数?
邮票可以重复 G(x)=(1+x+x^2+....)(1+x^2+x^4+....)(1+x^3+x^6+...) 展开之后的系数就是方案数了
重为a1,a2,a3.....ak的砝码,如何放在天平的两端,求可称重量为n的物体的不同方式
记可称重量为n的物体的不同方式为Cn 它的母函数为: G(x)=(x^(-a1)+1+x^a1)(x^(-a2)+1+x^a2).........(x^(-ak)+1+x^ak) x^(-a1)表示砝码a1和物体放在同一个托盘内 x^a1表示砝码和物体放在不同的托盘内 1则为不用这个砝码
重为a1,a2,a3....ak的砝码,如只可以放在天平的一端,求可称重量为n的物体的不同方式
记可称重量为n的物体的不同方式为Cn G(x)=(1+x^a1)(1+x^a2).........(1+x^ak)
数的划分,将整数分解为若干个整数
假设1出现的次数为记为a1,2出现的次数记为a2.........k出现的次数记为ak G(x)=(1+x+x^2+x^3+x^4+.....) (1+x^2+x^4+x^6+x^8+......) (1+x^3+x^6+x^9+....) ........ (1+xn) 1+x^2+x^4+x^6+x^8的意思是: 当出现一个2时为x^2,当出现两个2时为x^4
数的划分问题在算系数的时候往往结合五边形数定理,具体见上一篇博文
典型例题是HDU1085,给你cnt1个一元硬币,cnt2个两元硬币,cnt3个五元硬币,问不能凑出来的第一个面额是多少
公式为
(1+x+x^2+x^3+.........x^cnt1)∗(1+x^2+x^4+x^6+.........x^cnt2)∗(1+x^5+x^10+x^15+............x^cnt5)
处理完了之后这道题就变成了一道模拟题
1 #include<cstdio> 2 #include<cstring> 3 const int maxn=1e4+5; 4 int mmax; 5 int c1[maxn],c2[maxn]; 6 int cnt[5],val[5]={1,2,5}; 7 int main() 8 { 9 while(scanf("%d%d%d",&cnt[0],&cnt[1],&cnt[2])==3&&(cnt[0]||cnt[1]||cnt[2])) 10 { 11 memset(c1,0,sizeof(c1)); 12 memset(c2,0,sizeof(c2)); 13 mmax=0; 14 for(int i=0;i<3;i++) 15 mmax+=cnt[i]*val[i]; 16 for(int i=0;i<=cnt[0];i++) c1[i]=1; 17 for(int i=1;i<3;i++) 18 { 19 for(int j=0;j<=mmax;j++) 20 { 21 if(c1[j]!=0) 22 { 23 for(int k=0;k<=val[i]*cnt[i];k+=val[i]) 24 { 25 if(j+k<=mmax) c2[j+k]+=c1[j]; 26 } 27 } 28 } 29 memcpy(c1,c2,sizeof(c1)); 30 memset(c2,0,sizeof(c2)); 31 } 32 int i; 33 for(i=0;i<=mmax;i++) 34 if(c1[i]==0) break; 35 printf("%d\n",i); 36 } 37 return 0; 38 }