动态规划：混合背包

我们首先来介绍一下多重背包是什么

可以这样理解：01背包≤多重背包≤完全背包

01背包每种物品最多选一件

完全背包每种物品可以选无数件，但受限制于背包的容量

多重背包每种物品可以选的件数是给出的，同样也受限制于背包的容量

多重背包在实现的时候可以进行二进制优化，大致思路是放多件的情况可以进行拆分成几种放少件的情况，之前放少件的情况已经考虑过了，放多件的情况就不用考虑这些拆出来的情况了

接下来我们引出混合三种背包的问题

每种物品可以放1件，可以放无限件，也可以放若干件，问背包所能放物品的最大的价值

我们给出01和完全背包的实现：

int f[maxv];
void zpack(int v0,int w0)
{
    for(int i=V;i>=v0;i--)
        f[i]=max(f[i],f[i-v0]+w0);
}
void cpack(int v0,int w0)
{
    for(int i=v0;i<=V;i++)
        f[i]=max(f[i],f[i-v0]+w0);
}

接下来考虑多重背包的情况，用2进制方法拆成01去处理，拆不出来的再放一次

for(int j=1;j<=m[i];j*=2)
            {
                zpack(v[i]*j,w[i]*j);
                m[i]-=j;
            }
            zpack(m[i]*v[i],m[i]*w[i]);

这样我们的问题解决了，下面给出完整的实现，物品数无限本题是用-1来表示的

#include<iostream>
#include<algorithm> 
using namespace std;
const int maxv=200005,maxn=205;
int N,V;
int v[maxn],w[maxn],m[maxn];
long long ans=0;
//
int f[maxv];
void zpack(int v0,int w0)
{
    for(int i=V;i>=v0;i--)
        f[i]=max(f[i],f[i-v0]+w0);
}
void cpack(int v0,int w0)
{
    for(int i=v0;i<=V;i++)
        f[i]=max(f[i],f[i-v0]+w0);
}
int main()
{
    cin>>N>>V;
    for(int i=1;i<=N;i++)
        cin>>v[i]>>w[i]>>m[i];
    for(int i=1;i<=N;i++)
    {
        if(m[i]==-1||m[i]*v[i]>V)
            cpack(v[i],w[i]);
        else
        {
            for(int j=1;j<=m[i];j*=2)
            {
                zpack(v[i]*j,w[i]*j);
                m[i]-=j;
            }
            zpack(m[i]*v[i],m[i]*w[i]);
        }
    }
    ans=f[V];
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}