任意多边形面积

（这是对任意多边形面积求法的一个解释）

 给定多边形的顶点坐标（有序），让你来求这个多边形的面积，你会怎么做？ 我们知道，任意多边形都可以分割为N个三角形，所以，如果以这为突破点，那么我们第一步就是把给定的多边形，分割为数个三角形，分别求面积，最后累加就可以了，把多边形分割为三角形的方式多种多样，在这里，我们按照如下图的方法分割：

图1

S点作为起始点（点1），a->e依次作为点2,3……。 一个三角形的面积是怎样的呢？ 根据线性代数的知识，我们有如下的三角形面积公式，称之为有向面积(signed area)：

将这个行列式以第三列展开可以得到：

这就是以点1、2、3构成的三角形的有向面积（点如果是顺时针给出，有向面积为负，逆时针给出，有向面积为正），那么继续我们的工作，通过三角形的面积公式，来得到多边形的面积公式： 对于图1而言，多边形的面积就是： S(1->6)=S(1,2,3)+S(1,3,4)+S(1,4,5)+S(1,5,6) 这里我们不免有些疑问，第一，图1所给出的是凸多边形，那这种算法对于非凸多边形是否同样适用呢？比如下面这个最简单的凸多边形的图形：

图2

用刚才的划分方法的话，就会出现一个诡异的问题，那就是有一个三角形出现在了图形的外面，而另外一个又超出了多边形的范围（划分为了Sab，Sbc两个图形），那么这样再用刚才的公式求面积，结果还是正确的么？ S(1->4)=S(1,2,3)+S(1,3,4) 先公布结论，这个式子是正确的，等等，为什么？还记得刚才我提到了那个“有向面积”的概念么？忘了的话，请回头看看加重了的字。 请注意从图中看，Sab点为顺时针排列，Sbc点为逆时针排列，面积从数值上就是从Sab这个超过范围的大三角形中去掉Sbc这个小三角形，最后的结果神奇的就是多边形Sabc的面积，那么这个结论能否推广到任意多边形呢？

图3

在这里不做证明，下面给出的公式，就是任意多边形的面积公式：

（注意Xk+1%n和Yk+1%n）