图->连通性->关节点和重连通分量

文字描述

　　相关定义:假若在删去顶点v以及和v相关联的各边之后,将图的一个连通分量分割成两个或两个以上的连通分量,则称顶点v为该图的一个关节点.一个没有关节点的连通图称为重连通图. 在重连通图上,任意一对顶点之间至少存在两条路径, 则在删去某个顶点以及依附于该顶点的各边时也不破坏图的连通性.若在连通图上至少删除k个顶点才能破坏图的连通性,则称此图的连通度为k.

　　判断图是否是重连通的,可以先利用深度优先搜索求得图的关节点,一个没有关节点的图便是重连通的.由深度优先生成树可得出两类关节点的特性:

　　1 若生成树的根有两颗或两颗以上的子树, 则此根顶点必为关节点. 因为.若删去根顶点,生成树便变成生成森林.如示意图中的顶点A

　　2 若生成树中某个非叶子顶点v,其某棵子树的根和子树中的其他结点均没有指向v的祖先的回边,则v为关节点. 因为,若删去v,则其子树和图的其他部分被分割开来.如示意图中的顶点B,D,G

　　若该图Graph={V,{Edge}}重新定义遍历时的访问数组visit，并引入一个新的数足low，则由一次深度优先遍历便可求得连通图中存在的所有关节点。

　　

　　若对于某个顶点v，存在函数节点w，且low[w]>=visited[v], 则v必为关节点。因为当w是v的孩子结点时，low[w]>=visited[v], 表明w及其子孙均无指向v的祖先的回边。(这段话可能不太好理解，可以结合示意图和代码来看)。

 

示意图

 

 

算法分析

　　算法的时间复杂度和深度优先遍历一样。

 

代码实现

 

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// Created by lady on 18-12-15.
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#include <stdlib.h>
#include <stdio.h>

#define MAX_VERTEX_NUM    20        //最大顶点数

typedef enum {DG, DN, UDG, UDN} GraphKind; //{有向图，有向网，无向图，无向网}
typedef char VertexType;//顶点类型
typedef struct ArcNode{
    int adjvex;
    struct ArcNode *nextarc;
    char info[5];
}ArcNode;
typedef struct VNode{
    VertexType data;
    ArcNode *firstarc;
}VNode, AdjList[MAX_VERTEX_NUM];
typedef struct{
    AdjList vertices;
    int vexnum;
    int arcnum;
    int kind;
}ALGraph;

//若G中存在顶点u，则返回该顶点在图中位置；否则返回-1。
static int LocateVex(ALGraph G, VertexType v)
{
    int i = 0;
    for(i=0; i<G.vexnum; i++){
        if(G.vertices[i].data == v)
            return i;
    }
    return -1;
}
static VertexType LocateData(ALGraph G, int index)
{
    return G.vertices[index].data;
}

//在链表L的头部前插入v
static int InsFirst(ArcNode *L, int v)
{
    ArcNode *n = (ArcNode *)malloc(sizeof(struct ArcNode));
    n->adjvex = v;
    n->nextarc = L->nextarc;
    L->nextarc = n;
    return 0;
}

//采用邻接表的存储结构，构造无向图
static int CreateUDG(ALGraph *G)
{
    int i = 0, j = 0, k = 0;
    int v1 = 0, v2 = 0;
    char tmp[10] = {0};
    printf("输入顶点数，弧数:");
    scanf("%d,%d", &G->vexnum, &G->arcnum);
    for(i=0; i<G->vexnum; i++){
        printf("输入第%d个顶点: ", i+1);
        memset(tmp, 0, sizeof(tmp));
        scanf("%s", tmp);
        G->vertices[i].data = tmp[0];
        G->vertices[i].firstarc = malloc(sizeof(struct ArcNode));
        G->vertices[i].firstarc->adjvex = -1;
        G->vertices[i].firstarc->nextarc = NULL;
    }
    for(k=0; k<G->arcnum; k++){
        printf("输入第%d条弧(顶点1, 顶点2): ", k+1);
        memset(tmp, 0, sizeof(tmp));
        scanf("%s", tmp);
        sscanf(tmp, "%c,%c", &v1, &v2);
        i = LocateVex(*G, v1);
        j = LocateVex(*G, v2);
        InsFirst(G->vertices[i].firstarc, j);
        InsFirst(G->vertices[j].firstarc, i);
    }
    return 0;
}

static int CreateGraph(ALGraph *G)
{
    switch(G->kind){
        case DG:
        case DN:
        case UDN:
            return -1;
        case UDG:
            return CreateUDG(G);
        default:
            return -1;
    }
}

//输出图的信息
static void printG(ALGraph G)
{
    if(G.kind == DG){
        printf("类型：有向图；顶点数 %d, 弧数 %d\n", G.vexnum, G.arcnum);
    }else if(G.kind == DN){
        printf("类型：有向网；顶点数 %d, 弧数 %d\n", G.vexnum, G.arcnum);
    }else if(G.kind == UDG){
        printf("类型：无向图；顶点数 %d, 弧数 %d\n", G.vexnum, G.arcnum);
    }else if(G.kind == UDN){
        printf("类型：无向网；顶点数 %d, 弧数 %d\n", G.vexnum, G.arcnum);
    }
    int i = 0;
    ArcNode *p = NULL;
    for(i=0; i<G.vexnum; i++){
        printf("%c\t", G.vertices[i].data);
        p = G.vertices[i].firstarc;
        while(p){
            printf("%d\t", p->adjvex);
            p = p->nextarc;
        }
        printf("\n");
    }
    return;
}

static int count = 0;
static int visited[MAX_VERTEX_NUM] = {0};
static int low[MAX_VERTEX_NUM] = {0};

//从第v0个顶点出发深度优先遍历图G，查找并输出关节点。
void DFSArticul(ALGraph G, int v0)
{
    int w = 0;
    int min = 0;
    ArcNode *p = NULL;

    count += 1;
    min = count;
    visited[v0] = count;
    printf("visited[%d,%c]=%d\n", v0, G.vertices[v0].data, count);
    for(p=G.vertices[v0].firstarc->nextarc; p; p=p->nextarc){
        w = p->adjvex;
        if(visited[w] !=0 ){
            printf("回边: (%d,%c), (%d,%c)\n", v0, G.vertices[v0].data, w, G.vertices[w].data);
        }
        if(visited[w] == 0){
            DFSArticul(G, w);
            if(low[w] < min)
                min = low[w];
            if(low[w] >= visited[v0])
                printf("关节点 (index %d, data %c) !!!!!\n", v0, G.vertices[v0].data);
        }else if(visited[w] < min){
            min = visited[w];
        }
    }
    low[v0] = min;
    printf("low[%d,%c]=%d\n", v0, G.vertices[v0].data, min);
}

void FindArticul(ALGraph G)
{
    count = 1;
    visited[0] = 1;
    low[0] = 1;
    int i = 0;
    int v = 0;
    ArcNode *p = NULL;
    for(i=1; i<G.vexnum; ++i){
        visited[i] = 0;
    }
    p = G.vertices[0].firstarc->nextarc;
    v = p->adjvex;
    printf("visit[0,%c]=1 low[0,%c]=1\n", G.vertices[0].data, G.vertices[0].data);
    printf("从第(%d,%c)个顶点出发深度优先遍历图G，查找并输出关节点.\n", v, G.vertices[v].data);
    DFSArticul(G, v);
    if(count < G.vexnum){
        //生成树的根至少有两颗子树
        printf("生成树的根至少有两颗子树 因为count %d < %d\n", count, G.vexnum);
        printf("关节点 (index %d, data %c) !!!!!\n", 0, G.vertices[0].data);
        while(p->nextarc){
            p = p->nextarc;
            v = p->adjvex;
            if(visited[v] == 0){
                printf("从第(%d,%c)个顶点出发深度优先遍历图G，查找并输出关节点.\n", v, G.vertices[v].data);
                DFSArticul(G, v);
            }
        }
    }
    printf("index:\t\t");
    for(i=0;i<G.vexnum; i++){
        printf("%d\t", i);
    }
    printf("\n");

    printf("data:\t\t");
    for(i=0;i<G.vexnum; i++){
        printf("%c\t", G.vertices[i].data);
    }
    printf("\n");

    printf("visited[]:\t");
    for(i=0;i<G.vexnum; i++){
        printf("%d\t", visited[i]);
    }
    printf("\n");

    printf("low[]:\t\t");
    for(i=0;i<G.vexnum; i++){
        printf("%d\t", low[i]);
    }
    printf("\n");
}

int main(int argc, char *argv[])
{
    printf("创建一个无向图, ");
    ALGraph G;
    G.kind = UDG;
    CreateGraph(&G);

    printf("\n打印此无向图中存放的结点信息, ");
    printG(G);

    printf("\n查找并输出以邻接表作存储结构的图G的全部关节点:\n");
    FindArticul(G);
    return 0;
}

 

 

 

代码运行

 

/home/lady/CLionProjects/untitled/cmake-build-debug/untitled
创建一个无向图, 输入顶点数，弧数:13,16
输入第1个顶点: A
输入第2个顶点: B
输入第3个顶点: C
输入第4个顶点: D
输入第5个顶点: E
输入第6个顶点: F
输入第7个顶点: G
输入第8个顶点: H
输入第9个顶点: I
输入第10个顶点: J
输入第11个顶点: K
输入第12个顶点: L
输入第13个顶点: M
输入第1条弧(顶点1, 顶点2): A,B
输入第2条弧(顶点1, 顶点2): A,C
输入第3条弧(顶点1, 顶点2): A,F
输入第4条弧(顶点1, 顶点2): A,L
输入第5条弧(顶点1, 顶点2): L,J
输入第6条弧(顶点1, 顶点2): M,J
输入第7条弧(顶点1, 顶点2): M,L
输入第8条弧(顶点1, 顶点2): M,B
输入第9条弧(顶点1, 顶点2): B,D
输入第10条弧(顶点1, 顶点2): D,E
输入第11条弧(顶点1, 顶点2): B,G
输入第12条弧(顶点1, 顶点2): B,H
输入第13条弧(顶点1, 顶点2): G,H
输入第14条弧(顶点1, 顶点2): G,I
输入第15条弧(顶点1, 顶点2): G,K
输入第16条弧(顶点1, 顶点2): H,K

打印此无向图中存放的结点信息, 类型：无向图；顶点数 13, 弧数 16
A    -1    11    5    2    1    
B    -1    7    6    3    12    0    
C    -1    0    
D    -1    4    1    
E    -1    3    
F    -1    0    
G    -1    10    8    7    1    
H    -1    10    6    1    
I    -1    6    
J    -1    12    11    
K    -1    7    6    
L    -1    12    9    0    
M    -1    1    11    9    

查找并输出以邻接表作存储结构的图G的全部关节点:
visit[0,A]=1 low[0,A]=1
从第(11,L)个顶点出发深度优先遍历图G，查找并输出关节点.
visited[11,L]=2
visited[12,M]=3
visited[1,B]=4
visited[7,H]=5
visited[10,K]=6
回边: (10,K), (7,H)
visited[6,G]=7
回边: (6,G), (10,K)
visited[8,I]=8
回边: (8,I), (6,G)
low[8,I]=7
关节点 (index 6, data G) !!!!!
回边: (6,G), (7,H)
回边: (6,G), (1,B)
low[6,G]=4
low[10,K]=4
回边: (7,H), (6,G)
回边: (7,H), (1,B)
low[7,H]=4
关节点 (index 1, data B) !!!!!
回边: (1,B), (6,G)
visited[3,D]=9
visited[4,E]=10
回边: (4,E), (3,D)
low[4,E]=9
关节点 (index 3, data D) !!!!!
回边: (3,D), (1,B)
low[3,D]=4
关节点 (index 1, data B) !!!!!
回边: (1,B), (12,M)
回边: (1,B), (0,A)
low[1,B]=1
回边: (12,M), (11,L)
visited[9,J]=11
回边: (9,J), (12,M)
回边: (9,J), (11,L)
low[9,J]=2
low[12,M]=1
回边: (11,L), (9,J)
回边: (11,L), (0,A)
low[11,L]=1
生成树的根至少有两颗子树 因为count 11 < 13
关节点 (index 0, data A) !!!!!
从第(5,F)个顶点出发深度优先遍历图G，查找并输出关节点.
visited[5,F]=12
回边: (5,F), (0,A)
low[5,F]=1
从第(2,C)个顶点出发深度优先遍历图G，查找并输出关节点.
visited[2,C]=13
回边: (2,C), (0,A)
low[2,C]=1
index:        0    1    2    3    4    5    6    7    8    9    10   11   12    
data:         A    B    C    D    E    F    G    H    I    J    K    L    M    
visited[]:    1    4    13   9    10   12   7    5    8    11   6    2    3    
low[]:        1    1    1    4    9    1    4    4    7    2    4    1    1    

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