MIT18.06(7): 线性变换与JPEG图像压缩和小波基图像压缩,逆矩阵左逆与右逆和伪逆

线性变换

变换就是对一个向量进行平移旋转投影伸缩等操作。并不是所有的变换都是线性变换。
假设x是一个向量，T(x)表示对x进行变换。如果T(x)它满足下面这几个条件那么T(x)就是线性变换。下面这几个条件说了啥呢？它就是说我变换后的结果与变换前的结果它是成线性比的。

• T(x+y)=T(x)+T(y)
• T(cx)=cT(x)
• T(0)=0
  这个T(x)其实和我们平时接触的函数是一样的，只不过它是对向量进行操作。T(x)它就是一种输入与输出的映射$T:R^n \rightarrow R^m$。
  比如我们构造一个最简单的线性变换：T(x)=Ax，其中A是一个矩阵（类似我们平常常见的函数t(x)=3x）
  任何向量都可以由坐标系中的基向量们的线性组合所表示，如下图所示。
  

线性变换在图像压缩中的应用

JPEG压缩算法，也就是我们平常经常见到的JPG文件。它的思想是把图像分成很多块。举个例子有一个512x512像素的照片，把它分成8x8的块，每块的大小为64x64像素.然后我们用几个基向量线性组合来表示各个块。于是乎，对于每个小块我们只需要保存线性组合的系数和基向量。这样就实现了图像压缩。在图像压缩中基向量到底取多少决定了压缩的效率，其中有一个比较出名的叫做傅里叶基。傅里叶基就是把傅里叶矩阵的列向量作为基向量。

用傅里叶基表示图像可以用公式来描述：$x=\sum c_iv_i$其中$c_i$是线性组合系数,$v_i$是第i个傅里叶基（即傅里叶矩阵的第i行），$x$是图像像素值。
如果直接用傅里叶基进行变换，这是无损压缩。那有损压缩是什么呢？前面提到了傅里叶基进行线性组合，那么线性组合的系数，这些数影响不大那么就可以舍弃。这样就产生的有损压缩。到底多小算小这就得设置一个阈值。设置这个阈值的原则是让我们肉眼看不出差异。
基向量除了可以用傅里叶基外还可以用小波基，小波基大概长这样。

小波基的好处在于各个列向量相互正交。这样求线性组合的系数方便。为啥咧？假设有一个向量它各个元素代表像素值，那么用小波基线性组合形式可以表示为：P=WC其中P是像素值，W是小波基矩阵，C是线性组合系数。由于W是小波基各个列向量相互正交，所以它是正交矩阵。正交矩阵有个性质就是$W^{-1}=W^T$。因此线性组合系数很容易就可以求出$C=W^{-1}P=W^TP$。

逆矩阵左逆与右逆和伪逆

当A不是方阵的时候就无法直接求逆矩阵。比如A是n×m这个就只能求左逆和右逆

• 左逆和右逆
  $(A^TA)^{-1}A^T$就是A的左逆为何这么说？因为$[(A^TA)^{-1}A^T]A=I$，所以是A的左逆。
  $(AA^T)^{-1}A^T$就是A的左逆为何这么说？因为$A^T(AA^T)^{-1}A$是投影矩阵投影到行空间。$A(AA^T)^{-1}A^T$是把向量投影的列空间。$A[(AA^T)^{-1}A^T]=I$，所以是A的右逆。
• 伪逆
  啥时伪逆？就是当A不是方阵的时候让$AA^+$等于一个单位矩阵（不完全是单位矩阵就是左上角是单位矩阵其他地方是0）。

求伪逆的方法：

SVD分解求伪逆

如果你对SVD分解不了解可以参考这篇文章《SVD分解》
$A=U\sum V^T$其中$\sum$是对角矩阵（$\sum$它不一定是方阵，U和V才是方阵）。

$\sum$的伪逆是$\sum^+$。如上图所示。
所以A的伪逆是$A^+=V\sum^+U^T$，你可以拿它与$A=U\sum V^T$乘起来看看是不是单位矩阵。