FHE学习笔记 #3 数论中的前置知识
刚开始入门学习全同态加密，这里对一些有关的数论知识进行整理，包括单位根，单位原根，分圆多项式，范数等内容，供以后学习查阅，因为参考资料较杂，以及本人水平有限，可能存在较多错误，请予以指正
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不可约多项式 Irreducible Polynomial
定义比较多，通俗来说，不可约多项式首先是「非常数多项式 Non-constant Polynomial」，且不能被分解成两个「非常数多项式」乘积的形式。
如果能分解为仅含常数项的多项式，那用单位元 \(\bf 1\) 就能无限分解了，显然不合理。
更严格的定义是要说明在什么域上是不可约的，例如 \(x^2-2\) 在整数域上是不可约的，因为它不能分解成系数为整数的非常数多项式。但是 \(x^2-2\) 在实数域上属于可约多项式，可以分解为 \((x-\sqrt 2)(x-\sqrt 2)\)。
单位根 Root of Unity
n 次单位根的求法_cyzhou1221的博客-CSDN博客_n次单位根
极其推荐阅读 🔥： 分圆多项式 (yhx-12243.github.io)，前置知识有详细讲述单位根和本原单位根的内容
在复数域上，\(n\) 次单位根是指方程 \(z^n=1\) 的解，\(n\) 为正整数，且在复数域内有且只有 \(n\) 个解。解的形式为
证明：
复数的形式为 \(z=R\exp(i\theta)=R\cos\theta+iRsin\theta,R>0\)
两个复数 \(z_1,z_2\) 相等 \(\iff~~R_1=R_2,\theta_1=\theta_2+2k\pi,k\in \mathbb{Z}\)
而复数 \(1=1\exp(i0),\text{i.e.}\;R=1,\theta=0\)，代入 \(z^n=1\) 得到：
\[R^n=1,n\theta=2k\pi+0,R\ge0,k\in \mathbb{Z} \]解得 \(\begin{aligned}R=1,\theta=\frac{2k\pi}{n}\end{aligned},k\in\mathbb{Z}\)，则 \(\begin{aligned}z_k=\exp\left(\frac{2\pi i}{n}k\right),k\in\mathbb{Z} \end{aligned}\)
实际上，只有 \(k=0,1,\cdots,n-1\) 共 \(n\) 个不重根，也就是说，在复数域上对 1 开 \(n\) 次方根的结果有 \(n\) 个。
设 \(\begin{aligned}z=\exp\left(\frac{2\pi i}{m}\right)\end{aligned}\)，则这 \(n\) 个根为 \(z^0=1,z,z^2,\ldots,z^{n-1}\)。
证明：
取 \(k=n+s,s\in\mathbb{Z}\)，则
\[\begin{aligned} z_k=\exp\left(\frac{2\pi i}{n}k\right)&=\exp\left(\frac{2\pi i}{n}(n+s)\right)=\exp\left(2\pi i+\frac{2\pi i}{n}s\right) \\&=\exp\left(2\pi i\right)\times\exp\left(\frac{2\pi i}{n}s\right)=(e^{\pi i})^2\times\exp\left(\frac{2\pi i}{n}s\right) \\&=1\times\exp\left(\frac{2\pi i}{n}s\right)=z_s \end{aligned} \]这里使用了欧拉公式 \(e^{\pi i}+1=0\)。
可以看出当 \(k,s\) 属于同一同余类（模 \(n\)）时，这两个根是相同的，所以不重根的数目和模 \(n\) 最小剩余系大小相同，即 \(n\)。
一些性质：
-
对于任意 \(n\)，当 \(k=0\) 时，\(z_k=1\)
-
\(n\) 次单位根的模为 1，在复平面 Complex plane 上等分单位圆，如下图是 \(n=5\) 次单位根在复平面上的分布（svg 图片无法显示，建议去 wolai 中观看）
-
\(n\) 次单位根的任意次幂仍为 \(n\) 次单位根
证明：
设 \(z\) 是 \(n\) 次单位根，则对于 \(k\in\mathbb{Z}\)，有
\[(z^k)^n=(z^n)^k=1^k=1 \] -
同理可以证出，任意两个 \(n\) 次单位根的乘积仍然是 \(n\) 次单位根
-
由上述性质，可以得到所有 \(n\) 次单位根可以构成一个乘法交换循环群
-
利用 \(n\) 个根对 \(x^n-1\) 进行多项式分解
由 Vieta 定理可以得到：
\[z=\exp\left(\frac{2\pi i}{m}\right)，x^n-1=(x-1)(x-z)\cdots(x-z^{n-1}) \]
单位原根 Primitive Roots of Unity
\(n\) 次单位原根是指 \(n\) 次单位根中的某些根 \(z\)，满足 \(\forall m\in\{1,2,\ldots,n-1\},z^m\not=0,z^n=1\)。
\(n\) 次单位根 \(z_k\) 满足 \(\gcd(n,k)=1\) \(\iff\) \(n\) 次单位原根。
自己瞎证明的 🥺：
\(\gcd(n,k)=1\) 说明 \(z_k\) 就是 \(n\) 次单位原根
设 \(\forall k\in\{k|\gcd(n,k)=1\}\)，\(\begin{aligned}z_k=\exp\left(\frac{2k\pi i}{n}\right)\end{aligned}\) ，则
\[\begin{aligned} \exists d \in\mathbb{N^+}\;\text{s.t.}\; z_k^d=\exp\left(\frac{2kd\pi i}{n}\right)=1 \end{aligned} \]由 \(\exp(i\theta)=\cos\theta+i\sin\theta\) 展开得到
\[\exp\left(i\frac{2kd\pi }{n}\right)=\cos\left(\frac{2kd\pi }{n}\right)+i\sin\left(\frac{2kd\pi }{n}\right) \]则 \(\begin{aligned}\frac{2kd\pi }{n}=2k'\pi,k'\in\mathbb{Z}\end{aligned}\)，这样 \(\begin{aligned}\cos\frac{2kd\pi }{n}\end{aligned}\) 才会等于 1，
化简得到 \(kd=k'n,k'\in\mathbb Z\)，即 \(n\mid kd\)，
又因为 \(\gcd(n,k)=1\)，所以 \(n\mid d\)，也就是说 \(n\le d\)，所以 \(n\) 就是使 \(z_k^d=1\) 成立的最小正数 \(d\)，满足 \(n\) 次单位原根的定义。
\(n\) 次单位原根都满足 \(\gcd(n,k)=1\)
首先 \(k=0\) 时一定不是 \(n\) 次单位原根，因为本身就是 1，同时也不满足 \(\gcd(n,k)=1\)。
假设 \(z_k,1\le k<n\) 是 \(n\) 次单位原根，记 \(\gcd(n,k)=d,1\le d<n,n=n'd,k=k'd,n'\in \mathbb{Z},k' \in \mathbb Z\)，那么有
\[z_k^{n'}=\exp\left(\frac{2kn'\pi i}{n}\right)=\exp\left(\frac{2\pi i}{n}\times\frac{kn}{d}\right)=\exp\left(2\pi i k'\right)=1 \]如果 \(d\not=1\)，则有 \(n'<n\)，这就不满足 \(z_k\) 是 \(n\) 次单位原根的前提，得到矛盾，所以 \(d=1\)，即 \(\gcd(n,k)=1\)。
性质：
-
若 \(n\) 是质数，对于 \(k=\{1,2,\ldots,n-1\}\) 的 \(z_k\) 都是 \(n\) 次单位原根
-
若 \(z\) 为 \(n\) 次单位原根，则 \(z^0,z^1,z^2,\ldots,z^{n-1}\)是互异的 \(n\) 次单位根，即生成了整个 \(n\) 次单位根循环群，\(z\) 是生成元
证明：
首先由 \(n\) 次单位根的性质可知 \(z\) 的任意次幂都是 \(n\) 次单位根。
假设存在 \(z^a=z^b,0\le a<b\le n-1\)，那么 \(z^{b-a}=1,0<b-a\le n-1\)，这就与原根的定义矛盾，所以这些次幂都是互异的。
分圆多项式 Cyclotomic Polynomial
Cyclotomic polynomial - Wikipedia
数论讲义下 多项式 2 分圆多项式_哔哩哔哩_bilibili
分圆多项式的简单性质与应用 - 知乎 (zhihu.com)
极其推荐阅读 🔥： 分圆多项式 (yhx-12243.github.io)
\(n\) 次分圆多项式是 \(x^n-1\) 的因式，具有以下特点：
-
具有整数系数
-
是唯一且不可约的
-
首一多项式
-
不是任何 \(x^k-1,k<n\) 的因式
-
是实数域上 \(n\) 次单位根的极小多项式
从最后一点可以看出，\(n\) 次分圆多项式与 \(n\) 次单位原根有着紧密的关系，实际上，\(n\) 次分圆多项式的形式就是 \(n\) 次单位原根为单根的首一多项式的乘积：
由于 \(n\) 次单位原根一共有 \(\varphi(n)\) 个，所以 \(n\) 次分圆多项式的次数为 \(\text{deg}\;\Phi_n(x)=\varphi(n)\)，大概也就是分圆多项式使用 \(\Phi\) 的原因吧。
这里上下界划到了 \([1,n]\)，其实是和 \([0,n-1]\) 模 \(n\) 等价的，但是不能对 \(0\) 进行 \(\gcd\) 运算，所以后面都用 \([1,n]\)。
\(n\) 次分圆多项式具有许多奇妙的特性：
-
\(\begin{aligned}\prod_{d\mid n}\Phi_d(x)=x^n-1\end{aligned}\)
首先讲一个引理 \(\begin{aligned}\sum_{d\mid n}\varphi(d)=n\end{aligned}\) 及其证明，类似这个证明可以证出上述特性。
证明：
如果 \(\gcd(k,n)=d,k<n\)，那么就有 \(\begin{aligned}\gcd\left(\frac{k}{d},\frac{n}{d}\right)=1\end{aligned}\)。
如果我们要统计 \(1\sim n\) 的整数中，满足 \(\gcd(k,n)=d\) 的 \(k\) 的个数，记为 \(f(d)\)。
让我们试着考虑一下小于 \(\begin{aligned}\frac{n}{d}\end{aligned}\) 的整数中，与 \(\begin{aligned}\frac{n}{d}\end{aligned}\) 互质的数 \(k'\)，会发现他们乘上 \(d\) 后，满足 \(\gcd(k'd,n)=d\)。
所以有 \(\begin{aligned}f(d)=\varphi\left(\frac{n}{d}\right)\end{aligned}\)。
又因为 \(n\) 和 \(1\sim n\) 中每个整数的 \(\gcd\) 都是 \(n\) 的因子，所以有 \(\begin{aligned}\sum_{d=1}^nf(d)=\sum_{d\mid n}f(d)=n\end{aligned}\)，
进而得到 \(\begin{aligned}\sum_{d\mid n}\varphi\left(\frac{n}{d}\right)=n\end{aligned}\)，由于因子 \(d\) 和 \(\begin{aligned}\frac{n}{d}\end{aligned}\) 具有对称性，所以 \(\begin{aligned}\sum_{d\mid n}\varphi(d)=n\end{aligned}\)。
类似上面的证明思路，先设 \(\begin{aligned}\omega_n^k=\exp\left(\frac{2k\pi i}{n}\right),k\in\{0,1,\ldots,n-1\}\end{aligned}\) 为一个 \(n\) 次单位根，记 \(\gcd(n,k)=d,n=n'd,k=k'd,\gcd(n',k')=1,n'>k'\)。
此时我们会发现，\(w_{n'}^{k'}\) 不就是 \(n'\) 次单位原根吗，因为它满足了 \(\gcd(n',k')=1\)，注意到 \(n'\mid n\)，即它也是 \(n\) 的因子。
进一步会发现，\(w_{n'}^{k'}\) 是个 \(n\) 次单位根，因为有
\[\begin{aligned} \omega_{n'}^{k'}=\exp\left(\frac{2k'\pi i}{n'}\right)=\exp\left(\frac{2k'\pi i\times\frac{n}{n'}}{n'\times\frac{n}{n'}}\right) =\exp\left(\frac{2k'd\pi i}{n}\right) =\exp\left(\frac{2k\pi i}{n}\right) =w_n^k \end{aligned} \]又绕回来了，显然可以看出每个 \(n\) 的因子 \(n'\) 的单位原根，都和 \(n\) 次单位根有着一一对应的关系。
对于一个 \(n\) 次单位根 \(w_n^k\)，每个 \(k\) 确定了一个因子 \(n'\) 和其对应的 \(w_{n'}^{k'}\) 单位原根。
又因为我们上面有 \(x^n-1\) 的因式分解形式为
\[x^n-1=(x-1)(x-w_n^1)\cdots(x-w_n^{n-1}) \]还有 \(n'\) 的分圆多项式形式
\[\Phi_{n'}(x)=\prod_{\substack{1 \leq k' \leq n' \\ \operatorname{gcd}(k', n')=1}}\left(x-w_{n'}^{k'}\right) \]根据一一对应关系，逐一代替为 $ n' $ 次单位原根就能得到 \(\begin{aligned}\prod_{d\mid n}\Phi_d(x)=x^n-1\end{aligned}\)。
-
当 \(n\) 为质数时，有：
\[\Phi_{n}(x)=\frac{x^{n}-1}{x-1}=x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots+1 \]证明：
首先有个因式分解的奇技淫巧：
\[x^{n}-1=(x-1)\left(x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots+x+1\right) \]把右边乘进去就会发现中间次数项都被巧妙地消掉了，只剩 \(n\) 次方项和 1。
然后由第一个分圆多项式的性质，可以知道当 \(n\) 为质数时，因子只有 1 和它本身，有
\[\begin{aligned} \prod_{d\mid n}\Phi_d(x)=\Phi_1(x)\Phi_n(x)=(x-w_1^1)\Phi_n(x)=(x-1)\Phi_n(x)=x^n-1 \end{aligned} \]移项后再代入上述因式分解中即可得到 \(\begin{aligned} \Phi_{n}(x)=\frac{x^{n}-1}{x-1}=x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots+1 \end{aligned}\)
-
对于任意正整数 \(n\)，\(\Phi_{n}(x)\) 是整数多项式环 \(\mathbb{Z}[x]\) 中的不可约多项式
-
\(\Phi_{2^{d}}(x)=x^{2^{d-1}}+1\)
范数
范数是一个从实数或复数向量空间（Real or Complex Vector Space）\(X\) 到非负实数（Non-negative Real Bumbers）\(\mathbb R\)的实值函数（Real-valued Function） \(f:X\to\mathbb R\)，并且满足以下性质：
-
正定性 Positive Definiteness：
\[f(x)=0\iff x=0 \] -
绝对齐次性（Absolute Homogeneity）：
\(\forall s\in\mathbb R,\forall x\in X,f(sx)=|s|f(x)\)，\(s\) 为标量。
-
三角不等式（Triangle Inequality，或叫「次加性」 Subadditivity）：
\[\forall x, y \in X,f(x+y) \leq f(x)+f(y) \]
称 \(f(x)\) 是 \(X\) 上的范数，记为 \(\|x\|\)。
非负性其实由绝对齐次性和次加性推出，所以不是必须指出的性质：
首先令 \(s=0\)，可以得到 \(f(0\times x)=f(0)=0\)。
令 \(s=-1\)，可以得到 \(\forall x\in X,f(-x)=f(x)\)，假设存在 \(f(a)<0\)，则 \(f(-a)=f(a)<0\)。
根据次加性有 \(f(a+(-a))=f(0)=0<f(a)+f(-a)\)，然而 \(f(a)+f(-a)<0\)，所以矛盾。
对于 \(n\) 维欧式空间（Euclidean Space） \(\mathbb{R}^n\)，其上的向量形式为 \(\boldsymbol{x}=\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)\)，有几种常用的范数：
-
\(p\)-范数：
\[\|\boldsymbol{x}\|_{p}:=\left(\sum_{i=1}^{n}\left|x_{i}\right|^{p}\right)^{1 / p} \]里面常用的有「1-范数（又叫曼哈顿范数 Manhattan Norm）」和「2-范数（又叫欧几里得范数 Euclidean Norm）」，分别为：
\[\|\boldsymbol x\|_{1}=\sum_{i=1}^{n}\left|x_{i}\right|,\quad\|\boldsymbol x\|_{2}=\sqrt{\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}} \] -
无穷范数 Infinity Norm：
\[\|\boldsymbol{x}\|_{\infty}:=\max \left(\left|x_{1}\right|, \ldots,\left|x_{n}\right|\right) \]实际上称为最大范数（Maximum Norm）更好，更一般的称呼是「一致范数（Uniform Norm）」，这是定义在取指为集合 \(S\) 上有界函数 \(f\)，形式为：
\[\|f\|_{\infty}=\|f\|_{\infty, S}=\sup \{|f(s)|: s \in S\} \]sup 是 supremum（上确界）的简写，类似还有 inf 是 infimum（下确界）的简写。
一致范数有许多名称：上确界范数 Supremum Norm、切比雪夫范数 Chebyshev Norm 和无穷范数。
当上确界就是取最大值时，才称为最大范数。
一致范数的起名和函数序列的一致收敛有关。
矩阵范数 Matrix Norm
定义和范数类似，设 \(K\) 为实数或复数构成的域，\(K^{m\times n}\) 是 \(m\) 行 \(n\) 列的矩阵，函数 \(\|\cdot\|: K^{m \times n} \rightarrow \mathbb{R}\) 称为 \(K^{m\times n}\) 上的范数，且要满足以下条件（\(\alpha\in K\)，\(A, B \in K^{m \times n}\)）：
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非负：\(\|A\| \geq 0\)
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正定：\(\|A\|=0 \Longleftrightarrow A=0_{m, n}\)
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绝对齐次性：\(\|\alpha A\|=|\alpha|\|A\|\)
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次加性：\(\|A+B\| \leq\|A\|+\|B\|\)
-
不是必须的性质：次乘性：\(\|A B\| \leq\|A\|\|B\|\)，拥有次乘性的矩阵范数用处很大，同时所有定义在 \(K^{n\times n}\) 上的矩阵范数都具有次乘性
比较常使用的矩阵范数：
-
向量范数诱导的矩阵范数 Matrix Norms Induced by Vector Norms：
\(\|\cdot\|_{\alpha},\;\|\cdot\|_{\beta}\) 分别是 \(K^n\) 和 \(K^m\) 上的向量范数，矩阵 \(A^{m\times n}\) 是从 \(K^n\) 到 \(K^m\) 的线性变换矩阵，相应的诱导范数为：
\[\begin{aligned}\|A\|_{\alpha, \beta} &=\sup \left\{\|A \boldsymbol x\|_{\beta}:\boldsymbol x \in K^{n} \text { with }\|\boldsymbol x\|_{\alpha}=1\right\} \\ &=\sup \left\{\frac{\|A \boldsymbol x\|_{\beta}}{\|\boldsymbol x\|_{\alpha}}:\boldsymbol x \in K^{n} \text { with }\boldsymbol x \neq 0\right\} \end{aligned} \]用来衡量矩阵对向量的拉伸程度。
向量范数诱导的矩阵范数 \(\|\cdot\|_{\alpha, \alpha}\) 都具有次乘性，即
\[\|A B\|_{\alpha, \alpha} \leq\|A\|_{\alpha, \alpha}\|B\|_{\alpha, \alpha} \]同时这样的范数满足：
\[\forall r\in\mathbb N^+,\left(\left\|A^{r}\right\|_{\alpha, \alpha}\right)^{1 / r} \geq \rho(A) \]\(\rho(A)\) 是矩阵 \(A\) 的谱半径 Spectral Radius，是 \(A\) 中特征值绝对值的最大值。
此外谱半径还是任意矩阵范数的下确界。
当 \(K^n\) 和 \(K^m\) 的向量范数都是 \(p\)-范数时，诱导的矩阵范数称为矩阵的诱导 \(p\)-范数，形式如下：
\[\|A\|_{p}=\max _{\boldsymbol x \neq 0} \frac{\|A\boldsymbol x\|_{p}}{\|\boldsymbol x\|_{p}}=\max _{x \neq 0} \frac{\begin{aligned}\left(\sum_{i=1}^{m}\left|\sum_{j=1}^{n} a_{i j}\boldsymbol x_{j}\right|^{p}\right)^{1 / p}\end{aligned} }{\begin{aligned}\left(\sum_{j=1}^{n}\left|\boldsymbol x_{j}\right|^{p}\right)^{1 / p}\end{aligned} } \]-
\(p=1\)，相当于矩阵每一列绝对值相加，得到的和向量的中的最大值：
\[\|A\|_{1}=\max _{1 \leq j \leq n} \sum_{i=1}^{m}\left|a_{i j}\right| \] -
\(p=\infty\)，相当于矩阵每一行绝对值相加，得到的和向量的中的最大值：
\[\|A\|_{\infty}=\max _{1 \leq i \leq m} \sum_{j=1}^{n}\left|a_{i j}\right| \] -
\(p=2\)，诱导的矩阵范数就是谱范数。矩阵 \(A\) 的谱范数是 \(A\) 最大的奇异值 \(\sigma_{\max }(A)\) 或半正定矩阵 \(A^* A\) 的最大特征值的平方根：
\[\|A\|_{2}=\sqrt{\lambda_{\max }\left(A^{*} A\right)}=\sqrt{\rho\left(A^{*} A\right)}=\sigma_{\max }(A) \]\(A^*\) 是 \(A\) 的共轭转置 Conjugate Transpose
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"Entry-wise" Matrix Norms 逐元素的矩阵范数（不会翻译）
这种范数将 \(m\times n\) 矩阵视作大小为 \(mn\) 的向量，再运用向量范数进行计算
部分记号和上述的 \(p\)-范数相同，但是意义不同
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\(L_{p,q}\) 范数：
记 \((a_1,a_2,\ldots,a_n)\)是矩阵 \(A\) 的列，\(L_{2,1}\) 范数可以视作对于每一列向量计算 2-范数，再加和，即：
\[\|A\|_{2,1}=\sum_{j=1}^{n}\left\|a_{j}\right\|_{2}=\sum_{j=1}^{n}\left(\sum_{i=1}^{m}\left|a_{i j}\right|^{2}\right)^{\frac{1}{2}} \]更一般的，设 \(p,q\ge 1\)，\(L_{2,1}\) 范数可以推广到\(L_{p,q}\) 范数：
\[\|A\|_{p, q}=\left(\sum_{j=1}^{n}\left(\sum_{i=1}^{m}\left|a_{i j}\right|^{p}\right)^{\frac{q}{p}}\right)^{\frac{1}{q}} \] -
弗罗贝尼乌斯范数 Frobenius Norm：
其实就是 \(p=q=2\) 的 \(L_{p,q}\) 范数，他的形式如下：
\[\|A\|_{\mathrm{F}}=\sqrt{\sum_{i}^{n} \sum_{j}^{n}\left|a_{i j}\right|^{2}}=\sqrt{\operatorname{trace}\left(A^{*} A\right)}=\sqrt{\sum_{i=1}^{\min \{m, n\}} \sigma_{i}^{2}(A)} \]具有次乘性的且通常比诱导范数容易计算。
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最大值范数 Max Norm
即矩阵中绝对值最大的元素，形式为 \(\begin{aligned}\|A\|_{\max }=\max _{i j}\left|a_{i j}\right|\end{aligned}\)，不满足次乘性。
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